如图，A、B、C均为正方体的棱的中点，求证过这三点的正方体的截面为正六边形 我画的图不会传.所以只要借你的图了. 解:如上图,设A、B、C 三点确定的平面为π,棱长为a π与各棱交点依次是A、D、E、C、B、F. 由定理:两个平行平面被第三个平面所截,截得的交线平行. ∴AD平行CB.得点D是所在棱的中点. 延长AD交棱与点G,则AD=DG, ∴G∈π得G、E、C∈π又AD=DG,可得:点E是所在棱的中点. 同理点F也是所在棱的中点. ∴可得:六边形ADECBF的六边都相等. 连AE,AE=√[a^2+(a/2)^2+(a/2)^2]=(√6)a/2 又AD=DE=(√2)a/2 由余弦定理得:角ADE=120度 同理六边形ADECBF的六个内角都相等. 所以六边形ADECBF是正六边形 .
我们设需证六边形为APBCNM。 过AC可做平面//上、下平面=>AC//上平面对角线（上平面、AC平面，竖抛面，用定理1），且AC//PB(定理1:两个平行平面被第三个平面所截,截得的交线平行.)=>PB=上平面对角线=(1/2)AC=>P点为上平面左楞的中点； 又有BC//AM(定理1)，易得AM//且等于BC,点M为下底面的一个楞的中点，同理N也为一楞中点。 故有结论---六边形APBCNM为正六边形
这种证明太简单了,连角度都不用考虑. 既然是正方体,则各棱长相等,则各棱长的一半也相等.则割据勾股定理得第三边长也相等.既然六边相等,一定是正六边形
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