2006年第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷
总分200分 考试时间180分钟
一、(20分，每小题10分)
1、如图所示，弹簧S1的上端固定在天花板上，下端连一小球A，球A与球B之间用线相连。
球B与球C之间用弹簧S2相连。A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，弹簧与线的质量均可不计。开始时它们都处在静止状态。现将A、B间的线突然剪断，求线刚剪断时A、B、C的加速度。
2、两个相同的条形磁铁，放在平板AB上，磁铁的N、S极如图所示。
开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动。
(i)现将AB突然竖直向下平移(磁铁与平板间始终相互接触)，并使之停在A′B′处，结果发现两个条形磁铁碰在一起。
(ii)如果将AB从原位置突然竖直向上平移，并使之停在A〃B〃位置处，结果发现两条形磁铁也碰在一起。
试定性地解释上述现象。
二、(20分，每1小题12分，第2小题8分)
1、老爷爷的眼睛是老花眼。
(i)一物体P放在明视距离处，老爷爷看不清楚。试在示意图1中画出此时P通过眼睛成像的光路示意图。
(ii)戴了一副300度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体P，试在示意图2中画出P通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。
(iii)300度的老花镜的焦距f= m。
2、有两个凸透镜，它们的焦距分别为f1和f2，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为f3和f4。
已知，f1>f2>|f3|>|f4|。如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为 的透镜作为物镜，应选焦距为 的透镜作为目镜。
三、(20分，第1小题12分，第2小题8分)
1、如图所示，电荷量为q1的正点电荷固定在坐标原点O处，电荷量为q2的正点电荷固定在x轴上，两电荷相距l。
已知q2=2q1。
(i)求在x轴上场强为零的P点的坐标。
(ii)若把一电荷量为q0的点电荷放在P点，试讨论它的稳定性(只考虑q0被限制在沿x轴运动和被限制在沿垂直于x轴方向运动这两种情况)。
2、有一静电场，其电势U随坐标x的改变而变化，变化的图线如图1所示。
试在图2中画出该静电场的场强E随x变化的图线(设场强沿x轴正方向时取正值，场强沿x轴负方向时取负值)。
四、(20分)一根长为L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处在大气中。大气的压强与H厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长L>H。
现把细管弯成L形，如图所示。假定细管被弯曲时，管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出。当细管
弯成L形时，以l表示其竖直段的长度，问l取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值?给出你的论证并求出水银量的最大值(用水银柱的长度表示)。
五、(20分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电子与负电子都以速率v绕它们连线的中点做圆周运动。假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素，电子的质量m、速率v和正、负电子间的距离r的乘积也满足量子化条件，即mrv=n 式中n称为量子数，可取整数值1,2,3,…;h为普朗克常量。
试求电子偶素处在各定态时的r和能量以及第一激发态与基态能量之差。
六、(25分)如图所示，两个金属轮A1、A2，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴O1和O2转动，O1和O2相互平行，水平放置。每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A1轮的辐条长为a1、电阻为R1，A2轮的辐条长为a2、电阻为R2，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略。
半径为a0的绝缘圆盘D与A1同轴且固连在一起。一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点，绳在D上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P。当P下落时，通过细绳带动D和A1绕O1轴转
动。转动过程中，A1、A2保持接触，无相对滑动;两轮与各自细轴之间保持良好的电接触;两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连。
除R和A1、A2两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行。现将P释放，试求P匀速下落时的速度。
七、(25分)图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为R，圆筒的轴线在O处。
圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为B。筒壁的H处开有小孔，整个装置处在真空中。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子P以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射
入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设:筒壁是光滑的，P与筒壁碰撞是弹性的，P与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。
若要使P与筒壁碰撞的次数最少，问:
1、P的速率应为多少? 2、P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少?
八、(25分)图中正方形ABCD是水平放置的固定梁的横截面，AB是水平的，截面的边长都是l。一根长为2l的柔软的轻细绳，一端固定在A点，另一端系一质量为m的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过B点使小球处于C点。
现给小球一竖直向下的初速度v0，使小球与CB边无接触地向下运动，当v02分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处?
1、 2、
设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。
九、(25分)从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少。
假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km。已知质量为m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为E=-G 式中M为地球质量，G为引力常量。
1、假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心O到发射点C的连线之间的夹角表示)。
2、若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少? 3、试导出E=-G 。
06年第23届全国中学生物理竞赛预赛参考答案及评分标准
一、 参考解答:
1、线剪断前，整个系统处于平衡状态。
此时弹簧S1的弹力F1=(mA mB mC)g (1)
弹簧S2的弹力F2=mcg (2)
在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故F1、F2的大小尚未变化，但线的拉力消失。设此时A、B、C的加速度的大小分别为aA、aB、aC，
则有F1-mAg=mAaA(3) F2 mBg=mBaB(4) F2-mCg=mCaC(5)
解以上有关各式得aA= g，方向竖直向上(6);aB= g，方向竖直向下(7);aC=0(8)
2、开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡。
(i)从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初，板向下加速移动，板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动。在这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小。
向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。接着，磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动，直线停在A′B′处。在这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不再改变。
(ii)从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动也经历了两个阶段。起初，板和磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动。在这过程中，正压力增大，最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动。
接着，磁铁和板一起作加速度方向向下、速度向上的运动，直线停在A〃B〃处。在这过程中，磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。
评分标准:(本题20分)
1、10分，(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)式各1分，aA、aB的方向各1分。
2、10分，(i)5分，(ii)5分，(必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由，才给这5分，否则不给分)。
二、参考答案
1、(i) (ii) (iii) 2、f1，f4
评分标准:(本题20分)1、12分，(i)4分，(ii)4分，(iii)4分。 2、8分。两个空格都填对，才给这8分，否则0分。
三、参考答案
1、
(i)通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的P点只可能位于两点电荷之间。设P点的坐标为x0，则有 = (1) 已知q2=2q1 (2)
由(1)、(2)两式解得x0= (3)
(ii)先考察点电荷q0被限制在沿x轴运动的情况。
q1、q2两点电荷在P点处产生的场强的大小分别为E10= E20= ，且有E10=E20，二者方向相反。点电荷q0在P点受到的合力为零，故P点是q0的平衡位置。在x轴上P点右侧x=x0 △x处，q1、q2产生的场强的大小分别为
E′1= E20 方向沿x轴负方向
由于E′2>E′1，x=x0 △x处合场强沿x轴的负方向，即指向P点。
在x轴上P点左侧x=x0-△x处，q1、q2的场强的大小分别为E〃1= >E10 方向沿x轴正方向 E〃2= 0时，P点是q0的稳定平衡位置。带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都背离P点，所以当q00时，P点是q0的不稳定平衡位置。带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P点，所以当q00，P点是q0的稳定平衡位置，占3分;正确论证q00，P点是q0的不稳定平衡位置，占2分;正确论证q0H，故 >1
即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至d=x(即水银柱上表面与管口相平)时为止。
何时水银柱表面与管口相平，可分下面两种情况讨论。
1、水银柱表面与管口相平时，水银柱未进入水平管，此时水银柱的长度x≤l，
由玻意耳定律有(H x)(L-x)=HL (3) 由(3)式可得x=L-H (4)
由此可知，当l≥L-H时，注入的水银柱的长度x的最大值xmax=L-H(5)
2、水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管，此时注入水银柱的长度x>l，由玻意耳定律有(H l)(L-x)=HL (6) x= (7) lH l (9) x=L-H 即当l
由上讨论表明，当l≥L-H时，可注入的水银量为最大，这时水银柱的长度为xmax，即(5)式。
评分标准:(本题20分) 正确论证当l≥L-H时，可注入的水银量最大，占13分。求出最大水银量占7分，若论证的办法与参考解答不同，只要正确，同样给分。
五、参考解答:
正、负电子绕它们连线的中点作半径为 的圆周运动，电子的电荷量为e，正、负电子间的库仑力是电子作圆周运动所需的向心力，即 (1)
正电子、负电子的动能分别为Ek 和Ek-，有Ek =Ek-= mv2 (2)
正、负电子间相互作用的势能Ep=- (3) 电子偶素的总能量E=Ek Ek- Ep (4)
由(1)、(2)、(3)、(4)各式得E=- (5) 根据量子化条件mrv=n n=1,2,3,…… (6)
(6)式表明，r与量子数n有关。
由(1)和(6)式得与量子数n对应的定态r为
rn= n=1,2,3,…… (7)
代入(5)式得与量子数n对应的定态的E值为En= n=1,2,3,…… (8)
n=1时，电子偶素的能量最小，对应于基态。
基态的能量为E1=- (9)
n=2是第一激发态，与基态的能量差△E= (10)
评分标准:(本题20分)(2)式2分，(5)式4分，(7)式、(8)式各5分，(10)式4分。
六、参考解答:
P被释放后，细绳的张力对D产生机械力矩，带动D和A1作逆时针的加速转动，通过两个轮子之间无相对运动的接触，A1带动A2作顺时针的加速运动。
由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在A1产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在A2产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻R构成闭合电路。A1、A2中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力。不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速转动的势头减缓。
A1、A2从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A1和A2停止作加速转动，均作匀角速转动，此时P匀速下落，设其速度为v，则A1的角速度 (1)
A1带动A2转动，A2的角速度ω2与A1的角速度ω1之间的关系为ω1a1=ω2a2 (2)
A1中每根辐条产生的感应电动势均为 (3)
轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值见(3)式。
同理，A2中，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值为 (4)
A1中，每根辐条的电阻为R1，轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值为RA1= (5) A2中，每根辐条的电阻为R2，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值为RA2= (6)
A1轮、A2轮和电阻R构成串联回路，其中的电流为I= (7)
以(1)至(6)式代入(7)式，得I= (8)
当P匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即
mgv=I2(R ) (9) 以(8)式代入(9)式得v= (10)
评分标准:(本题25分)
(1)、(2)式各2分，(3)、(4)式各3分，(5)、(6)、(7)式各2分，(9)式6分，(10)式3分。
七、参考解答:
1、如图1所示，设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外，带电粒子P带正电，其速率为v。P从小孔射入圆筒中因受到磁场的作用力而偏离入射方向，若与筒壁只发生一次碰撞，是不可能从小孔射出圆筒的。但与筒壁碰撞两次，它就有可能从小孔射出。
在此情形中，P在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧HM、MN和NH组成。现考察其中一段圆弧MN，如图2所示，由于P沿筒的半径方向入射，OM和ON均与轨道相切，两者的夹角 (1)
设圆弧的圆半径为r，则有qvB=m (2)
圆弧对轨道圆心O′所张的圆心角 (3)
由几何关系得r=Rcot (4)
解(2)、(3)、(4)式得v= (5)
2、P由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为s=βr(6)，经历时间为t1= (7)
P从射入小孔到射出小孔经历的时间为t=3t1 (8) 由以上有关各式得t= (9)
评分标准:(本题25分)1、17分，(1)、(2)、(3)、(4)式各3分，
(5)式5分。
2、8分，(6)、(7)、(8)、(9)式各2分。
八、参考解答:
小球获得沿竖直向下的初速度v0后，由于细绳处于松弛状态，故从C点开始，小球沿竖直方向作初速度为v0、加速度为g的匀加速直线运动。当小球运动到图1中的M点时，绳刚被拉直，匀加速直线运动终止。
此时绳与竖直方向的夹角为α=30º。
在这过程中，小球下落的距离s=l 2lcosα=l(1 ) (1)
细绳刚拉直时小球的速度v1满足下式:v12=v22 2gs (2)
在细绳拉紧的瞬间，由于绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的，故小球沿细绳方向的分速度v1cosα变为零，而与绳垂直的分速度保持不变，以后小球将从M点开始以初速度v1′=v1sinα= v1 (3)
在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为2l，圆心位于A点，如图1所示，由(1)、(2)、(3)式得v12= (4)
当小球沿圆周运动到图中的N点时，其速度为v，细绳与水平方向的夹角为θ，由能量关系有
(5)
用FT表示绳对小球的拉力，有FT mgsinθ= (6)
1、
设在θ=θ1时(见图2)，绳开始松弛，FT=0，小球的速度v=u1。
以此代入(5)、(6)两式得
(7) mgsinθ1= (8)
由(4)、(7)、(8)式和题设v0的数值可求得θ1=45° (9) u1= (10)
即在θ1=45°时，绳开始松弛，以N1表示此时小球在圆周上的位置，此后，小球将脱离圆轨道从N1处以大小为u1，方向与水平方向成45°角的初速度作斜抛运动。
以N1点为坐标原点，建立直角坐标系N1xy，x轴水平向右，y轴竖直向上。若以小球从N1处抛出的时刻作为计时起点，小球在时刻t的坐标分别为x=u1cos45°t= u1t (11)
y= u1sin45°t- gt2= u1t- gt2 (12)
由(11)、(12)式，注意到(10)式，可得小球的轨道方程:y=x-g =x- (13)
AD面的横坐标为x=2lcos45°= l (14)
由(13)、(14)式可得小球通过AD所在竖直平面的纵坐标y=0 (15)
由此可见小球将在D点上方越过，然后打到DC边上，DC边的纵坐标为
y=-(2lsin45°-l)=-( -1)l(16)
把(16)式代入(13)式，解得小球与DC边撞击点的横坐标x=1。
75l (17)
撞击点与D点的距离为△l=x-2lcos45°=0。35l (18)
2、v02=2(3 11)gl设在θ=θ2时，绳松弛，FT=0，小球的速度v=u2。以此代替(5)、(6)式中的θ1、u1，得 (19) msinθ2= (20)
以v02=2(3 11)gl3代入(4)式，与(19)、(20)式联立，可解得θ2=90° (21) u2= (22)
(22)式表示小球到达圆周的最高点处时，绳中张力为0，随后绳子被拉紧，球速增大，绳中的拉力不断增加，拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力，小球将绕以D点为圆心，l为半径的圆周打到梁上的C点。
评分标准:(本题25分)(3)式2分，(5)、(6)式各1分，(9)、(10)式各3分，得出小球不可能打在AD边上，给3分，得出小球能打在DC边上，给2分，正确求出小球打在DC边上的位置给2分。求出(21)、(22)式各占3分，得出小球能打在C点，再给2分。
如果学生直接从抛物线方程和y=-(2lsin45°-l)=-( -1)l求出x=1。75l，同样给分。不必证明不能撞击在AD边上。
九、参考答案:
1、这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球引力作用下将沿椭圆轨道运动。
如果导弹能打到N点，则此椭圆一定位于过地心O、北极点N和赤道上的发射点C组成的平面(此平面是C点所在的子午面)内，因此导弹的发射速度(初速度v)必须也在此平面内，地心O是椭圆的一
个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的C、N两点到焦点O的距离相等，故所考察椭圆的长辆是过O点垂直CN的直线，即图上的直线AB，椭圆的另一焦点必在AB上。
已知质量为m的物体在质量为M的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量E(无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴a的关系为E=- (1)
要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴a最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a，现C点到一个焦点O的距离是定值，等于地球的半径R，只要位于长轴上的另一焦点到C点的距离最小。
该椭圆的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于C到AB的垂线的垂足处时，C到该焦点的距离必最小。由几何关系可知2a=R R (2)
设发射时导弹的速度为v，则有E= mv2- (3)
解(1)、(2)、(3)式得v= (4) 因 =mg (5)
比较(4)、(5)两式得v= (6) 代入有关数据得 v=7。
2km/s (7)
速度的方向在C点与椭圆轨道相切。根据解析几何知识，过椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP，从图中可看出，速度方向与OC的夹角θ=90º- ×45º=67。5º (8)
2、由于地球绕通过ON的轴自转，在赤道上C点相对地心的速度为vC= (9)
式中R是地球的半径，T为地球自转的周期，T=24×3600s=86400s，故vC=0。
46km/s (10)
C点速度的方向垂直于子午面(图中纸面)。位于赤道上C点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度vC，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足(7)、(8)两式的要求，导弹相对于地面(C点)的发射速度应有一大小等于vC、方向与vC相反的分速度，以使导弹在此方向相对于地心的速度为零，导弹的速度的大小为v′= (11) 代入有关数据得v′=7。
4km/s (12)
它在赤道面内的分速度与vC相反，它在子午面内的分速度满足(7)、(8)两式。
3、质量为m的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对于近地点和远地点有下列关系式 = (13) = (14)
式中v1、v2分别为物体在远地点和近地点的速度，r1、r2为远地点和近地点到地心的距离。
将(14)式中的v1代入(13)式，经整理得 (15)
注意到r1 r2=2a (16) 得 (17) 因E= (18)
由(16)、(17)、(18)式得E=- (19)
评分标准:(本题25分)
1、14分。
(2)式6分，(3)式2分，(6)、(7)式共4分，(8)式2分。
2、6分。(11)式4分，(12)式2分。
3、5分。(13)、(14)式各1分，(19)式3分。
不好意思，看成预赛了。
全部
