在直角三角形ABC中
在直角三角形ABC中,角ACB=90度,PA垂直平面ABC,AE垂直PB,垂足为E,AF垂直PC,垂足为F,PB垂直平面AEF若PA=AB=2,设角BPC=a,试用tan a表示三角形AEF的面积.当tan a取何值时三角形AEF的面积最大?这个最大面积是多少?
可解得PE=√2,又因为PB⊥平面AEF，故在Rt△PEF中，EF=PEtga=√2tga 。 在Rt△PEF中,PF^2=PE^2+EF^2=2+2(tga)^2 。在Rt△PAF中，AF^2=PA^2-PF^2=2-2(tga)^2,AF=√[2-2(tga)^2]. 根据三垂线定理可证得AF⊥EF,故Rt△AEF的面积S=1/2×EF×AF=√2tga√[1-(tga)^2],所以S^2=2(tga)^2×[1-(tga)^2]=-4[(tga)^2]^2+2(tga)^2. 故当(tga)^2=1/4,即tga=1/2时，(S^2)max=1/4,即Smax=1/2.
PB垂直于平面AEF，所以AE是等腰直角△PAB中斜边PB上的中线和高.PA=AB=2,因此AE=PE=EB=2^.5.并且PB垂直于EF, 直角△PEF中，EF=PE*tana=2^.5*tana. 又AF在平面AEF中，垂直于平面的斜线PC，也就垂直于它的射影EF. 直角△AFE中,AF=(AE^2-EF^2)^.5=[2-2(tana)^2]^.5. S(AEF)=EF*AF/2 =[2^.5tana*[2-2(tana)^2]^.5]/2 =tana[1-(tanA)^2]^.5 =tana=(2^.5)/2时“＝”成立。 此时S(△AEF)具有最大值:1/2.
答：设PA=PB=PC=2a。取BC的中点D，连接PD,AD. 直角△BPC中，PD垂直平分BC，又PA垂直于PB,PC,因此垂直于平面PBC. 平面PBC内的直线...详情>>
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