求实数a、b应满足的条件
为使不等式x^2+4xy+4y^2+10x+ay+b>0对任意实数x、y恒成立,试求实数a、b应满足的条件。
x^2+4xy+4y^2+10x+ay+b =(x+2y)^2+10(x+2y)+25+(a-20)y+(b-25) =(x+2y+5)^2+(a-20)y+(b-25) 不等式x^2+4xy+4y^2+10x+ay+b>0对任意实数x、y恒成立的条件为 (a-20)y+(b-25)>0对任意实数x、y恒成立, 所以这里与y有关的一次项不能出现,即必须有a=20,同时b>25。
为使不等式?a成立,必须且只需 x^2+4xy+y^2+10x+ay+b为一实数式的平方加上一个增量t(t>0). 令x^2+4xy+y^2+10x+ay+b=(x+2y+m)^2+t(t>0), 即x^2+4xy+y^2+10x+ay+b=x^2+4xy+4y^2+2mx+4my+m^2+t. 由多项式恒等的条件,有 {10=2m {a=4m {b=m^2+t 解得,a=20,b=25+t. ∴a=20,b>25时, 原不等式恒成立。
答:解 令x^2+4xy+4y^2+10x+2ay+b=(x+2y+k)^2+m (m>0) =(x+2y+k)^2+m=x^2+4xy+4y^2+2kx+4ky...详情>>
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