连续
单调函数的单调区间一定连续吗? 例:函数y=x在(-∞,0), (0,+∞)上都单调递增,可以说它在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递增吗?
教材上只定义了单调“区间”,而没有定义单调“集合” 请问(-∞,0)∪(0,+∞)还叫“区间”吗??? (回忆回忆区间的定义是什么?) 对于函数y=x(x≠0),完全可以说它在“定义域”上单调递增——因为它在(-∞,0)及(0,+∞)上都是单调增且左边的最“大”也“小于”右边的最“小”. 但是,你不能说函数y=x(x≠0)在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上是增函数——因为本来就不是个区间!!! 而有些函数如:y=1/x,它在(-∞,0)及(0,+∞)上都是单调减函数,但不能说它在(-∞,0)∪(0,+∞)是减函数,就是说它在“定义域”是减函数的说法是错误的 另外,图象不连续,单调区间却有可能连成一个. x+1(x>0) 如函数:y = 0 (x=0) x-1(x<0) 此分段函数尽管图象断成了三截,但单调(增)区间就是(-∞,+∞)
单调函数不一定是连续的,只要满足定义它就是单调函数. 对任意x1,x2∈[a,b],x1f(x1)f(x2),则f(x)为[a,b]上的增,减函数. 由此可见单调函数的单调区间一定连续. “f(x)在定义域内有单调性”是“f(x)在定义域内连续”的充分非必要条件. 如y=(x^4)/x的单增区间一定是 {x︱x0} (-∞,0),(0,+∞) 而不是 (-∞,0)加(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)并(0,+∞) (-∞,0)或(0,+∞)
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