xe^x(sinx-cosx)的不定积分
xe^x(sinx-cosx)的不定积分
介绍一种给数学系的学生的方法。
设I=∫xe^x(cosx+isinx)dx= =∫xe^[x(1+i)]dx= =1/(1+i)∫xd[e^[x(1+i)]= =[1/(1+i)][xe^[x(1+i)]-1/(1+i)∫e^[x(1+i)]dx= =[1/√2]e^[-iπ/4][xe^[x(1+i)]-[1/2]e^[-iπ/2]e^[x(1+i)]+C= =[xe^x/√2]e^[i(x-π/4)]-[e^x/2]e^[i(x-π/2)]+C= ={[xe^x/√2]cos(x-π/4)-[e^x/2]cos(x-π/2)}+ +i{[xe^x/√2]sin(x-π/4)-[e^x/2]sin(x-π/2)}+C ==> ∫xe^x(-cosx+sinx)dx= =[xe^x/√2][sin(x-π/4)-cos(x-π/4)]- -[e^x/2][sin(x-π/2)-cos(x-π/2)]+C= =-xe^xcosx+[e^x/2][sinx+cosx]+C 。
如图```````````````
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