圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于O,O到边AB,BC,CD,DA的垂线的垂足分别为E,F,G,H. 证明 四边形EFGH有内切圆. 证明 欲证四边形EFGH有内切圆,只需证EF+GH=FG+HE. 在圆OEBF中，由正弦定理得: EF=OB*sin∠ABC; 在圆OGDH中，由正弦定理得: GH=OB*sin∠CDA; 由于∠ABC+∠CDA=180°,所以 EF+GH=(OB+OD)*sin∠ABC=BD*sin∠ABC. 同理可证 FG+HE=AC*sin∠BAD. 而BD/sin∠BAD=AC/sin∠ABC=圆ABCD的直径. 即 BD*sin∠ABC=AC*sin∠BAD, 故EF+GH=FG+HE. 因此四边形EFGH有内切圆.证毕.
