求证：三角形的面积的最大值为R^2/4×TAN（a/2)，请问是求哪个三角形的面积最大值？！
按照求△OPQ面积的最大值来计算，可以得出你的结论，估计没错。。。
如图
过点P作BC的垂线，垂足为C。
  设∠POB=θ
因为0<α<π/2，所以：0<θ<α<π/2
因为PQ∥AO，所以：∠PQB=∠AOB=α
而OP=AO=BO=R，所以：PC=Rsinθ，OC=Rcosθ
在Rt△PQC中，tanα=PC/QC=Rsinθ，所以：QC=Rsinθ/tanα
所以，OQ=OC-CQ=Rcosθ-(Rsinθ/tanα)
所以，△OPQ的面积S=(1/2)OP*OQ*sinθ
=(1/2)*R*[Rcosθ-(Rsinθ/tanα)]*sinθ
=(R^/2)[cosθ-(sinθ/tanα)]*sinθ
=(R^/2)[sinθcosθ-(sin^θ/tanα)]
=(R^/2)*{(1/2)sin2θ-[(1-cos2θ)/2]/tanα
=(R^/4){sin2θ-[(1-coa2θ)/tanα]}
令函数f(θ)=sin2θ-[(1-coa2θ)/tanα]
=sin2θ+(cos2θ/tanα)-cotα
=(sin2θtanα+cos2θ)/tanα-cotα
=√(1+tan^α){sin2θ[tanα/√(1+tan^α)]+cos2θ[1/√(1+tan^α)]-cotα
=√(1+tan^α)sin(2θ+ф)-cotα
其中，tanф=[1/√(1+tan^α)]/[tanα/√(1+tan^α)]=cotα …………………………………（1）
因为α为定值，所以，当2θ+ф=π/2时，f(θ)取得最大值=√(1+tan^α)-cotα
此时，tanф=tan[(π/2)-2θ]=cot2θ 
………………………………………………………（2）
由(1)(2)得到：
cotα=cot2θ
所以，θ=α/2
那么，这时f(θ)=sin2θ-[(1-cos2θ)/tanα]
=sinα-[(1-cosα)]/tanα
=sinα-[cosα(1-cosα)]/sinα
=[sin^α-cosα+cos^α]/sinα
=(1-cosα)/sinα
={1-[1-2sin^(α/2)]}/[2sin(α/2)cos(α/2)]
=[2sin^(α/2)]/[2sin(α/2)cos(α/2)]
=[sin(α/2)]/[cos(α/2)]
=tan(α/2)
则，△OPQ的面积S=(R^/4)tan(α/2)
命题获证。