可设|f(x,y)|≤1
1。
1>σ>0
A(σ)={(x,y),(x,y)∈[0,1]×[0,1],x≥y+σ},
B(σ)={(x,y),(x,y)∈[0,1]×[0,1],y≥x+σ}。
==>
f(x,y)在A(σ),B(σ)上一致连续。
2。
ⅰ。
x∈[0,1],可设x>0,
任意x/2>ε>0,
f(x,y)在A(ε/8),B(ε/8)上一致连续。
==>
有ε/8>δ>0,当|x-x1|+|y-y1|≤δ时,|f(x,y)-f(x1,y1)|≤ε/4。
==>当0(x,y)∈A(ε/8),
y≤x-ε/4=y≤x1-ε/4+x-x1≤x1-ε/4+ε/8=x1-ε/8
==>(x1,y)∈A(ε/8)
而|x-x1|+|y-y|=|x-x1|≤δ
==>
|f(x,y)-f(x1,y)|≤ε/4。
==>
I1≤[ε/4][x-ε/4]
ⅴ。
同理
I2≤[ε/4][1-x-ε/8]
==>
|F(x)-F(x1)|≤I1+I2+I3≤ε
3。
同理
当0
F(x)在[0,1]上连续。
。
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