高三数学题_数列和不等式数学题
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
在等差数列{an}中,若a1+a2+a12+a13=24,则a7为()
解析:∵a1+a2+a12+a13=4a7=24,∴
答案:A
若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S33-S22=1,则数列{an}的公差是()
解析:由Sn=na1+n(n-1)2d,得S3=3a1+3d,S2=2a1+d,代入S33-S22=1,得d=2,故选
答案:C
已知数列a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈正整数集),则a20XX等于()
解析:由已知,得a1=1,a2=5,a3=4,a4=-1,a5=-5,a6=-4,a7=1,a8=5,…
故{an}是以6为周期的数列,
∴a20XX=a6×335+
答案:A
设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5
<
>与S7均为Sn的值
解析:∵S5
又S7>S8,∴a8<
假设S9>S5,则a6+a7+a8+a9>0,即2(a7+a8)>
∵a7=0,a8<0,∴a7+a8<假设不成立,故S9
答案:C
设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若S3=3a3,则公比q的值为()
或或12[
解析:设首项为a1,公比为q,
则当q=1时,S3=3a1=3a3,适合题意.
当q≠1时,a1(1-q3)1-q=3?a1q2,
∴1-q3=3q2-3q3,即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0,
解得q=1(舍去),或
综上,q=1,或
答案:C
若数列{an}的通项公式an=5?252n-2-4?25n-1,数列{an}的项为第x项,最小项为第y项,则x+y等于()
解析:an=5?252n-2-4?25n-1=5?25n-1-252-45,
∴n=2时,an最小;n=1时,
此时x=1,y=2,∴x+
答案:A
数列{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈正整数集),则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()
解析:∵3an+1=3an-2,
∴an+1-an=-23,即公差
∴an=a1+(n-1)?d=15-23(n-1).
令an>0,即15-23(n-1)>0,解得n<
又n∈正整数集,∴n≤23,∴a23>0,而a24<0,∴a23a24<
答案:C
某工厂去年产值为a,计划今后5年内每年比上年产值增加10%,则从今年起到第5年,这个厂的总产值为()
×()×()a
解析:由已知,得每年产值构成等比数列a1=a,w
an=a(1+10%)n-1(1≤n≤6).
∴总产值为S6-a1=11×()
答案:C
已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100,那么a7?a14的值为()
不存在
解析:由S20=100,得a1+∴a7+
又a7>0,a14>0,∴a7?a14≤a7+
答案:A
设数列{an}是首项为m,公比为q(q≠0)的等比数列,Sn是它的前n项和,对任意的n∈正整数集,点an,S2nSn()
在直线mx+qy-q=0上
在直线qx-my+m=0上
在直线qx+my-q=0上
不一定在一条直线上
解析:an=mqn-1=x,①S2nSn=m(1-q2n)1-qm(1-qn)1-q=1+qn=y,②
由②得qn=y-1,代入①得x=mq(y-1),即qx-my+
答案:B
将以2为首项的偶数数列,按下列方法分组:(2),(4,6),(8,10,12),…,第n组有n个数,则第n组的首项为()
+n+2
++2
解析:因为前n-1组占用了数列2,4,6,…的前1+2+3+…+(n-1)=(n-1)n2项,所以第n组的首项为数列2,4,6,…的第(n-1)n2+1项,等于2+(n-1)n2+1-1?2=n2-n+
答案:D
设m∈正整数集,log2m的整数部分用F(m)表示,则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是()
以上都不对
解析:依题意,F(1)=0,
F(2)=F(3)=1,有2个
F(4)=F(5)=F(6)=F(7)=2,有22个.
F(8)=…=F(15)=3,有23个.
F(16)=…=F(31)=4,有24个.
…
F(512)=…=F(1023)=9,有29个.
F(1024)=10,有1个.
故F(1)+F(2)+…+F(1024)=0+1×2+2×22+3×23+…+9×29+
令T=1×2+2×22+3×23+…+9×29,①
则2T=1×22+2×23+…+8×29+9×②
①-②,得-T=2+22+23+…+29-9×210=
2(1-29)1-2-9×210=210-2-9×210=-8×210-2,
∴T=8×210+2=8194,m]
∴F(1)+F(2)+…+F(1024)=8194+
答案:A
第Ⅱ卷(非选择共90分)
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
若数列{an}满足关系a1=2,an+1=3an+2,该数列的通项公式为
解析:∵an+1=3an+2两边加上1得,an+1+1=3(an+1),
∴{an+1}是以a1+1=3为首项,以3为公比的等比数列,
∴an+1=3?3n-1=3n,∴
答案:an=3n-1
已知公差不为零的等差数列{an}中,M=anan+3,N=an+1an+2,则M与N的大小关系是
解析:设{an}的公差为d,则d≠
M-N=an(an+3d)-[(an+d)(an+2d)]
=an2+3dan-an2-3dan-2d2=-2d2<0,∴M
答案:M
在数列{an}中,a1=6,且对任意大于1的正整数n,点(an,an-1)在直线x-y=6上,则数列{ann3(n+1)}的前n项和
解析:∵点(an,an-1)在直线x-y=6上,
∴an-an-1=6,即数列{an}为等差数列.
∴an=a1+6(n-1)=6+6(n-1)=6n,
∴
∴ann3(n+1)=6n2n3(n+1)=6n(n+1)=61n-1n+1
∴Sn=61-12+12-13+…+1n-1n++1=6nn+
答案:6nn+1
观察下表:
1
234
34567
45678910
…
则第__________行的各数之和等于
解析:设第n行的各数之和等于20XX2,
则此行是一个首项a1=n,项数为2n-1,公差为1的等差数列.
故S=n×(2n-1)+(2n-1)(2n-2)2=20XX2,解得
答案:1005
三、解答题:本大题共6小题,共70分.
(10分)已知数列{an}中,a1=12,an+1=12an+1(n∈正整数集),令
(1)求证:{bn}是等比数列,并求bn;
(2)求通项an并求{an}的前n项和
解析:(1)∵bn+1bn=an+1-2an-2=12an+1-2an-2=12an-1an-2=12,
∴{bn}是等比数列.
∵b1=a1-2=-32,
∴bn=b1qn-1=-32×
(2)an=bn+2=-32n+2,
Sn=a1+a2+…+an
=-32+2+-322+2+-323+2+…+-32n+2
=-3×12+122+…+12n+2n=-3×12×1-12n1-12+2n=32n+
(12分)若数列{an}的前n项和
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1),且cn=an?bnn,求数列{cn}的通项公式及其前n项和
解析:(1)由题意Sn=2n,
得Sn-1=2n-1(n≥2),
两式相减,得an=2n-2n-1=2n-1(n≥2).
当n=1时,21-1=1≠
∴an=2(n=1),2n-1(n≥2).
(2)∵bn+1=bn+(2n-1),
∴b2-b1=1,
b3-b2=3,
b4-b3=5,
…
以上各式相加,得
bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)
=(n-1)(1+2n-3)2=(n-1)
∵b1=-1,∴bn=n2-2n,
∴cn=-2(n=1),(n-2)×2n-1(n≥2),
∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1,
∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)×
∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-2)×2n
=2(1-2n-1)1-2-(n-2)×2n
=2n-2-(n-2)×2n
=-2-(n-3)×
∴Tn=2+(n-3)×
(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第2n项,…,按原来顺序组成一个新数列{bn},记该数列的前n项和为Tn,求Tn的表达式.
解析:(1)依题意,得
3a1+3×22d+5a1+5×42d=50,(a1+3d)2=a1(a1+12d),解得a1=3,
∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,
即an=2n+
(2)由已知,得bn=a2n=2×2n+1=2n+1+1,
∴Tn=b1+b2+…+bn
=(22+1)+(23+1)+…+(2n+1+1)
=4(1-2n)1-2+n=2n+2-4+
(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,且ban-2n=(b-1)
(1)证明:当b=2时,{an-n?2n-1}是等比数列;
(2)求通项新课标第一网
解析:由题意知,a1=2,且ban-2n=(b-1)Sn,
ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1,
两式相减,得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1,
即an+1=ban+①
(1)当b=2时,由①知,an+1=2an+
于是an+1-(n+1)?2n=2an+2n-(n+1)?2n
又a1-1?20=1≠0,
∴{an-n?2n-1}是首项为1,公比为2的等比数列.
(2)当b=2时,
由(1)知,an-n?2n-1=2n-1,即an=(n+1)?2n-1
当b≠2时,由①得
an+1-12-b?2n+1=ban+2n-12-b?2n+1=ban-b2-b?2n
=ban-12-b?2n,
因此an+1-12-b?2n+1=ban-12-b?2n=2(1-b)
得an=2,n=1,12-b[2n+(2-2b)bn-1],n≥
(12分)某地在抗洪抢险中接到预报,24小时后又一个超历史水位的洪峰到达,为保证万无一失,抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算,如果有20辆大型翻斗车同时作业25小时,可以筑起第二道防线,但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外,其余车辆需从各处紧急抽调,每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作.问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作,才能保证24小时内完成第二道防线,请说明理由.
解析:设从现有这辆车投入工作算起,各车的工作时间依次组成数列{an},则
所以各车的工作时间构成首项为24,公差为-13的等差数列,由题知,24小时内最多可抽调72辆车.
设还需组织(n-1)辆车,则
a1+a2+…+an=24n+n(n-1)2×-13≥20×
所以n2-145n+3000≤0,
解得25≤n≤120,且n≤
所以nmin=25,
故至少还需组织24辆车陆续工作,才能保证在24小时内完成第二道防线.
(12分)已知点集L={(x,y)|y=m?n},其中m=(2x-2b,1),n=(1,1+2b),点列Pn(an,bn)在点集L中,P1为L的轨迹与y轴的交点,已知数列{an}为等差数列,且公差为1,n∈正整数集.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(3)设cn=5n?an?|PnPn+1|(n≥2),求c2+c3+c4+…+cn的值.
解析:(1)由y=m?n,m=(2x-2b,1),n=(1,1+2b),
得y=2x+1,即L:y=2x+
∵P1为L的轨迹与y轴的交点,
∴P1(0,1),则a1=0,
∵数列{an}为等差数列,且公差为1,
∴an=n-1(n∈正整数集).
代入y=2x+1,得bn=2n-1(n∈正整数集).
(2)∵Pn(n-1,2n-1),∴Pn+1(n,2n+1).
∵n∈正整数集,
(3)当n≥2时,Pn(n-1,2n-1),
∴c2+c3+…+cn
=1-12+12-13+…+