求y(0)=1,y'(0)=0,的条件下y'' 2x(y')^2=0的特解
求y(0)=1,y'(0)=0,的条件下y''+2x(y')^2=0的特解 1、如何推出:显然y'≡0 2、y'≡0如何推出:y''≡0 3、y''≡0,代入y''+2x(y')^2=0如何推出:y'≡0是解
令p=y',方程成为p'+2xp^2=0 ==> p'=-2xp^2 (1)p=0 即y'=0 ==> y=c,由y(0)=1 ==> c=1,∴y=1; (2)p≠0 ==> -dp/p^2=2xdx ==> 1/p=x^2+c1即y'=1/(x^2+c1),没有满足y'(0)=0的解; ∴所求特解:y=1。 上面是全部正确解法。 1、如何推出:显然y'≡0 y'=0不是推出的,是解方程过程中对p的取值讨论以后的两种情形之一; 2、y'≡0如何推出:y''≡0 0的导数等于0也不知道?而且y''=0与解方程也已经没有关系了; 3、y''≡0,代入y''+2x(y')^2=0如何推出:y'≡0是解 看我上面的解法,这一步根本不需要的。解是y=1,不是y'=0。
答:这是个齐次方程,对应特征方程为 r^4-2r^3+r^2=0。 特征根为 r1=r2=0,r3=r4=1。 所以,通解为Y=C1+C2*x+(C3+C4*x)e...详情>>
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