三道有点难的求数列极限的问题
1 lim(n无穷大) (1+x)(1+x^2)...(1+x^(2n-1))
,|x|<1
2 lim(n无穷大) {(n+1)^a-n^a},其中常熟a属于(0,1)
3 lim(n无穷大) {n*sin[2*pi*√(n^2+1)]}
【1】是错题，x^(2n-1)应该【纠正】为x^[2^(n-1)] lim(n→∞) (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)……【1+x^[2^(n-1)]】 =lim(n→∞) (1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)……【1+x^[2^(n-1)]】/(1-x) =lim(n→∞) [1+x^(2^n)/(1-x) =1/(1-x)。
【2】“常熟”，应该是“常数”。 【关键】将离散n连续化，再作倒数代换。 lim(n→∞)[(n+1)^a-n^a] =lim(n→∞)[(1+1/n)^a-1](n^a) =lim(x→+∞)[(1+1/x)^a-1](x^a) =lim(t→+0)[(1+t)^a-1]/t^a =lim(t→+0)a(1+t)^(a-1)]/[at^(a-1)] =lim(t→+0)[at^(1-a)/[a(1+t)^(a-1)] =0。
【3】关键①诱导公式；②分子有理化；③等价无穷小sinx～x(x→0)。 lim(n→∞) n*sin[2*π*√(n^2+1)] =lim(n→∞) n*sin[2*π*√(n^2+1)-2*π*n] =lim(n→∞) n*sin【2*π*[√(n^2+1)-n]】 =lim(n→∞) n*sin【2*π*[(n^2+1)-n^2]/[√(n^2+1)+n]】 =lim(n→∞) n*sin【2*π/[√(n^2+1)+n]】 =lim(n→∞) n*【2*π/[√(n^2+1)+n]】 =(2*π)lim(n→∞) n/[√(n^2+1)+n] =π。
。
1。 lim(n无穷大) (1+x)(1+x^2)。。。(1+x^(2n-1)) =lim(n无穷大) (1-x)(1+x)(1+x^2)。。。(1+x^(2n-1)) /(1-x) =lim(n无穷大) (1-x^2n)/(1-x) =1/(1-x) 2。
lim(n无穷大) {(n+1)^a-n^a} =lim(n无穷大) n^a{(1+1/n)^a-1} =lim(n无穷大) n^a{a/n+a(a-1)/(2n^2)+。。。} =0 3。 lim(n无穷大) {n*sin[2*pi*√(n^2+1)-2*pi*n]} =lim(n无穷大) {n*sin[2*pi*n*[(1+1/n)^0。
5-1]} =lim(n无穷大) {n*sin[2*pi*n*[1/(2n)-1/(2*4*n^2)+。。。]} =lim(n无穷大) {n*sin[pi+pi/(4n)-。。。]} =-lim(n无穷大) {n*sin[pi/(4n)-。
。。]} =-lim(n无穷大) {n*pi/(4n)-。。。]} =-pi/4 。。。表示高阶小量。
答：用极限定义证明如下：详情>>
答：详情>>
