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高中不等式证明

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高中不等式证明

当正实数a,b,c满足a+b+c=1.证明
a√(1-bc)+b√(1-ca)+c√(1-ab)>=(2√2)/3

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  • 2009-12-17 15:20:39
      设a=x^2,b=y^2+c=z^2,x,y,z为正实数。
    则x^2+y^2+z^2=1。
       所证式齐次式为: 3Σx^2√[(x^2+y^2+z^2)^2-(yz)^2]>=2√2*(x^2+y^2+z^2)^2 9Σx^4*(Σx^2)^2-9(xyz)^2*Σx^2+18(yz)^2√[(Σx^2)^2-(zx)^2]*[(Σx^2)^2-(xy)^2] >=8(x^2+y^2+z^2)^4 因为 √[(Σx^2)^2-(zx)^2]*[(Σx^2)^2-(xy)^2]>= x^4+y^4+z^4+2(yz)^2+(zx)^2+(xy)^2+yzx^2 ===> 9Σx^4*(Σx^2)^2-9(xyz)^2*Σx^2+18(yz)^2[Σx^4+(zx)^2+(xy)^2+2(yz)^2+yzx^2] >=8(x^2+y^2+z^2)^4 Σx^8+4Σ(y^2+z^2)x^6+6Σ(yz)^4-(xyz)^2*(33Σx^2-18Σyz)>=0 Σ[(y^4+10y^2z^2+z^4+15x^4)(y+z)^2-18(xyz)^2](y-z)^2>=0。

    m***

    2009-12-17 15:20:39

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