设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
焦点在x轴上,a^2>b^2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(1)
将直线方程y=x+1代入椭圆方程,得:
(a^2+b^2)x^2+2a^2x+a^2-a^2b^2=0。。。。。
  。。。(2)
设直线y=x+1与椭圆两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2)
则x1,x2为方程(2)的两实数根
x1+x2=-2a^2/(a^2+b^2),x1x2=(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)
y1y2=x1x2+x1+x2+1=b^2-a^2b^2/(a^2+b^2)
而以PQ为直径的圆为:
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
过原点(0,0),所以:
x1x2+y1y2=0
(a^2+b^2-2a^2b^2)/(a^2+b^2)=0
a^2+b^2=2a^2b^2。
  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(3)
【解法一】----------------------------------------------
PQ^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=2(x1-x2)^2=2(x1+x2)^2-8x1x2
=8a^4/(a^2+b^2)^2-8(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)
=8a^4/(a^2+b^2)^2-4(2a^2-2a^2b^2)/(a^2+b^2)。
  。[(3)代入]
=8a^4/(a^2+b^2)-4(a^2-b^2)/(a^2+b^2)
=4(a^4+b^4)/(a^2+b^2)^2=(√10/2)^2=5/2
(a^4+b^4)/(a^2+b^2)^2=5/8
[(a^2+b^2)-2a^2b^2]/(a^2+b^2)^2=5/8
1-2a^2b^2/(a^2+b^2)^2=5/8。
  。。[(3)代入]
a^2+b^2=8/3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(4)
(4)代入(3):
a^2b^2=4/3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(5)
由(1)(4)(5)解得:
a^2=2,b^2=2/3
椭圆方程为:
x^2/2+y^2/(2/3)=1
【解法二】----------------------------------------------
设PQ中点M(m,m+1)］则:
|OM|^2=m^2+(m+1)^2=2m^2+2m+1=(√10/4)^2=5/8
m^2+m+3/16=0
m1=-1/4,m2=-3/4
x^2/a^2+y^2/b^2=1
两边求导得:
2x/a^2+2yy'/b^2=0
y'=-(b^2/a^2)(x/y)
PQ斜率:k=-(b^2/a^2)[m/(m+1)]=1
b^2/a^2=-(m+1)/m=-1-1/m
m=-1/4,b^2/a^2=3,与(1)矛盾
m=-3/4,b^2/a^2=1/3,a^2=3b^2。
  。。。。。。。。。。。(4)
由(3)(4)解得
a^2=2,b^2=2/3
椭圆方程为:
x^2/2+y^2/(2/3)=1
【评】对椭圆方程求导得中点弦斜率可以简化计算。