恒等式证明
Fibonaci数列{Fn}，F1=F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，F6=8，F7=13，F8=21…，Fn=F(n-2)+F(n-1) 。求证:
arccotF(3)+arccotF(4)+arccotF(5)+…+arccotF(n-1)+arccotF(n)=π/4.
Fibonaci数列{Fn}，F1=F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，F6=8，F7=13，F8=21…，Fn=F(n-2)+F(n-1) 。求证:
arccotF(3)+arccotF(4)+arccotF(5)+…+arccotF(n-1)+arccotF(n)=π/4。
命题有误，应改为:
arccotF(3)+arccotF(5)+arccotF(7)+…+arccotF(2n-1)+arccotF(2n)=π/4
由于提问者笔误和粗心，至少浪费我三个小时。
下面给出详细证明
Fibonaci数列{Fn}，F1=F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，…，Fn=F(n-2)+F(n-1) 。
求证:
arccotF(3)+arccotF(5)+arccotF(7)+…+arccotF(2n-1)+arccotF(2n)=π/4。
证明 当n=2时，arccot1=π/4，命题成立。
设n=k (k≥2) 时,
arccotF(3)+arccotF(5)+…+arccotF(2k-1)+arccotF(2k)=π/4
命题成立。
根据Fibonaci数列{Fn}的性质:F(2k+2)=F(2k)+F(2k+1) ，[F(2k+1)]^2=F(2k)*F(2k+2)+1。
可得:[F(2k+1)*F(2k+2)-1]/[F(2k+1)+F(2k+2)]
={F(2k+1)*[F(2k+1)+F(2k)]-1}/[F(2k+1)+F(2k+2)]
={[F(2k+1)]^2-1+F(2n)*F(2n+1)}/[F(2k+1)+F(2k+2)]
=[F(2n)*F(2n+2)+F(2n)*F(2n+1)]/[F(2k+1)+F(2k+2)]=F(2k)
故得:arccotF(2k)=arccotF(2k+1)+arccotF(2k+2)
所以 arccotF(3)+arccotF(5)+…+arccotF(2k-1)+arccotF(2k+1)+arccotF(2k+2)=arccotF(3)+arccotF(5)+…+arccotF(2k-1)+arccotF(2k)=π/4。
证毕。
。
问题背景，见附件！！
原法和maxabc55相近,
只多了F(2k-1)*F(2k)-1=F(2k-2)F(2k+1)的证明。
1。
易得:
F(n)=[1/√5]*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n},
其中[(1+√5)/2][(1-√5)/2]=-1。
2。
证明:
F(2k-1)*F(2k)-1=F(2k-2)F(2k+1)。
左=F(2k-1)*F(2k)-1=
=[1/5]*{[(1+√5)/2]^(2k-1)-[(1-√5)/2]^(2k-1)}*
*{[(1+√5)/2]^(2k)-[(1-√5)/2]^(2k)}-1=
=[1/5]*{[(1+√5)/2]^(4k-1)+[(1-√5)/2]^(4k-1)-
-(-1)^(2k-1)-5}=
=[1/5]*{[(1+√5)/2]^(4k-1)+[(1-√5)/2]^(4k-1)- 4}。
右=F(2k-2)F(2k+1)=
=[1/5]*{[(1+√5)/2]^(2k-2)-[(1-√5)/2]^(2k-2)}*
*{[(1+√5)/2]^(2k+1)-[(1-√5)/2]^(2k+1)}=
=[1/5]*{[(1+√5)/2]^(2k+1)+[(1-√5)/2]^(2k+1)-
-(-1)^(2k-2)*4}=
=[1/5]*{[(1+√5)/2]^(4k-1)+[(1-√5)/2]^(4k-1)- 4}
==>左=右。
3。
设A(k)=arccotF(k),
则A(2k-1)+A(2k)=A(2k-2)。
这是因为根据3。得:
A(2k-1)+A(2k)=arccotF(2k-1)+arccotF(2k)=
=arccot{[F(2k-1)F(2k)-1]/[F(2k-1)+F(2k)]}=
=arccot[F(2k-2)]=A(2k-2)。
4。
设S(n)=arccotF(3)+arccotF(5)+…+arccotF(2n-1)+
+arccotF(2n)
根据3。得:
S(n)=arccotF(3)+arccotF(5)+…+
+arccotF(2n-1)+arccotF(2n)=
=[A(2)-A(4)]+[A(4)-A(6)]+。
。。。+[A(2n-2)-A(2n)]+A(2n)
=A(2)=arccotF(2)=arccot1=π/4。
。
答：F1: 如果你处在一个选定的程序中而需要帮助，那么请按下F1。如果现在不是处在任何程序中，而是处在资源管理器或桌面，那么按下F1就会出现Windows的帮助程序...详情>>
问：我大专毕业后工作三年了，英语四级没有过，能报考研究生吗？
答：我覺得網上的朋友??真誠??言語直接,一語中的,就是 "妹妹&哥哥,你大?的往前走"吧! 加油吧!详情>>
答：计算题(考试以选择题形式出题) 1、假定某一资本的剩余价值率为100%，该资本4年周转一次，试问该资本的年剩余价值率为多少？ 答案：M¹=m&...详情>>
