如何求五边形的面积

五边形是有五条边的多边形。你会发现数学课上几乎所有难解的问题都涉及到了五个内角相等的正五边形。通常有两种方法来求解五边形的面积，具体选择哪种方法则取决于你已知的信息。

通过边长和边心距求面积

从边长和边心距入手。这个方法适用于求五个内角大小完全相等的正五边形面积。除了边长信息，你还需要已知五边形的“边心距”。边心距是五边形每条边到其外接圆的圆心的距离，从圆心到边作垂线，垂线与五边形的边形成的夹角正好是90o。不要混淆边心距和半径的概念，半径是从中心到五边形边角（顶点），而边心距则是中心到五边形的边中点的距离。如果你只知道边长和半径长，请跳至第二个方法。我们将使用边长为3个单位长和边心距为2个单位长的五边形作为示例。

将五边形分割成五个三角形。从外接圆圆心向五边形的边角（顶点）画五条直线，这样能将其分割成五个三角形。

计算三角形的面积。每个三角形都有一个底边，长度等于五边形的边长。三角形也有一个高，长度和五边形的边心距相等。（记住，三角形的高是从一个顶点向对边作垂线，形成一个直角）。计算三角形面积的公式是：面积S=? x 底边长 x 高。在我们的示例中，三角形面积 = ? x 3 x 2 =3单位面积。

用三角形面积乘以5，求出五边形面积。我们将五边形等分为五个三角形，每个三角形面积相等，五边形的面积就是三角形的面积乘以5。在我们的例子中，A（五边形面积） = 5 x A（三角形面积）= 5 x 3 =15单位面积。

通过边长求面积

仅从边长入手。这个方法适用于求五条边长完全相等的正五边形面积。在这一部分，我们使用边长为7个单位长的五边形为例。

将五边形分割成五个三角形。从外接圆圆心向五边形的五个边角（顶点）画线，这样就把五边形分割为五个大小相等的三角形。

将三角形分成两半。从五边形的中点向三角形底边作垂线，这条线和底边相交形成90o角，并将三角形分成两半，形成两个更小的三角形。

标记小三角形的已知信息。我们已经知道了小三角形的一边和一个角：三角形的底边就是五边形边长的 ? 。在本例中，小三角形的底边为? x 7 = 3.5 单位长。三角形的顶角等于大三角形顶角的一半，也就是36o。（具体计算过程是：中心是360o，我们将其分为10个相同的小三角形，也就是360 ÷ 10 = 36。所以顶角为36o）。

计算三角形的高。三角形的高就是从五边形中心向边作的垂线，形成一个直角。我们可以使用三角函数来求出高的长度：在直角三角形中，一个角的正切函数等于对边长除以临边长。36o角的对边是三角形的底（五边形边长的一半）。36o 角的临边是三角形的高。tan（36o） = 对边/ 临边在本例中，tan（36o） = 3.5 / 高高 x tan（36o） = 3.5高= 3.5 / tan（36o）高= （约等于）4.8单位长。

计算三角形的面积。三角形的面积等于? x底边长x高（A = ?bh）。此时我们已知高和底边，代入公式即可求出三角形面积。在本例中，小三角形的面积 = ?bh = ?（3.5）（4.8） = 8.4 单位面积。

乘以数量求出五边形面积。一个小三角形的面积是五边形面积的1/10。所以，要求五边形面积，用小三角形面积乘以10即可。在本例中，五边形面积 = 8.4 x 10 =84单位面积。

使用公式

使用周长和边心距来计算面积。边心距是从五边形中心向边作垂线，垂线的长度就是边心距大小。如果你已知这个长度，你可以使用下面这个简单的公式。正五边形的面积= “pa”/2，其中“p” = 周长，“a” = 边心距。如果你不知道周长，可以通过边长来计算。计算公式是：p = 5s，其中“s”是边长。

使用边长来计算面积。如果你只知道边长，那么使用以下公式进行计算：正五边形的面积 = （5s2） / （4tan（36o）），其中“s” = 边长。tan（36o） = √（5-2√5）。如果你的计算器没有“tan”功能，可以使用面积公式：面积 = （5s2） / （4√（5-2√5））。

选择只用半径来求面积的公式。如果你只知道半径，也可以求面积。使用以下公式：正五边形的面积 = （5/2）r2sin（72o），其中“r”是半径。

特别提示

不规则的五边形，即五条边不相等的五边形，其面积是比较难计算的。最好的计算方法将五边形分割成几个三角形，然后将它们的面积加起来。你还可以用规则的形状将五边形包围起来，然后通过减去多余部分的面积，就可以得到五边形的面积了。

同时使用几何法和公式法，比较之后确定正确的答案。如果你将数据一次全带入公式进行计算，得到的结果可能会有一点不同（因为中间过程不需要求近似），但是它们应该很接近。

例子里用的结果是近似值，是为了方便计算。如果你要计算给定边长的五边形的面积，那么不同的边长得到的面积也不同。

公式法可以由几何方法推导出来，推导过程和文中描述的类似。你可以尝试推导一下。通过半径求五边形面积的方法是比较难推导的（小提示：你可能需要用到二倍角等式）。