矩阵的特征值问题
请详细证明下列定理,谢谢! 矩阵A的所有特征值之和等于对角元素之和;所有特征值之积等于|A|。
设方阵为A ,对角线的值为a11,a22。。。。。。ann,系数行列式为 |A - qE | = 0。特征值为q1,q2,。。。qn 那么|A - qE | = 0 对应q的n-1次(q ^(n - 1))的系数为 a11 + a22 + a33 + 。
。。 + ann 即 | A - qE | = (-q)^n + (a11 + a22 + 。。。 ann)(-q)^(n - 1) + 。。。 (其他项我们不需要就不写了) 而我们又有 | A - qE | = (q1 - q)(q2 - q)。
。。( qn - q ) (根据根和项数关系得到) 展开又可得q的n-1次的系数为 q1 + q2 + 。。。+qn 故:q1 + q2 + 。。。+qn = a11 + a22 + 。。。 ann 那么第二个就更简单了: | A - qE | = (q1 - q)(q2 - q)。
。。( qn - q )我们设q = 0 则 |A| = q1*q2*。。。qn。
答:设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是A的一个特征值. 如果Ax=0,则0就是它的一个特征值.详情>>
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