在环中，“正则”和“可逆”是两个概念。但在方阵环中，“正则”和“可逆”等价。由于中国大学一般只学一点线性代数，所以“正则”一般不讲。
我们常见的实数矩阵和复数矩阵中，正则矩阵=可逆矩阵。
下面回答你的问题。
设R为n阶正定矩阵，A为n×m矩阵,
f(x)=（Ax-b）^t R （Ax-b）。
==>f(x)≥0。
1。
A^tA为m可逆矩阵，则
R(A^tA)=m≤R(A)≤min{m,n}
==>m≤n，R(A)=m。
2。
若m=n，则根据1。得：A为m阶可逆矩阵，
==》Ax=b一定有解 x(0)=A^(-1)b,
即Ax（0）=b。
则f(x(0))=0为最小值。
3。
mdim(kerA)=0
==>当Ax=0，则有x=0
==>A^tRA正定,A^tRA为可逆矩阵。
4。
m
这是因为
A^tR[Ax(0)-b]=
=A^tRAx(0)-A^tRb=A^tRb-A^tRb=0
计算：f(x(0)+h)=
={x(0)^tA^t-b^t+h^tA^t}R{Ax(0)-b+Ah}=
=f(x(0))+h^tA^tRAh+2h^tA^tR[Ax(0)-b]=
=f(x(0))+h^tA^tRAh≥f(x(0))
所以当x（0）=[A^tRA]^(-1)A^tRb时，
f(x(0))取最小值。
。
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