微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分（Differentiation)、积分（Integration)以及有 关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线 的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
  积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体 积等提供一套通用的方法。从微积分成为一门学科来说，时间是在17世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
  作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有比较清楚的论述。比如中国的庄周所著《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一 尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割 之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
  ”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到了 17世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结 起来，大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的 问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。
  第三类问题是求函数的最大值和最小值的问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物 体作用于另一物体上的引力的问题。17世纪许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题做了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦 列利等人都提出了许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。
  17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，即使这只是十分初步的工作。他们的最大功 绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求 积问题（积分学的中心问题）。
  牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考 虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
  前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，它必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场轩然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。
  英国数学在一 个时期里闭关锁国，囿于民族偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整 整落后了一百年。其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论,莱布尼 茨却要比牛顿发表早3年。
  他们的研究各有长处,也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于 发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。
  牛顿 的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量;莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基 础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到19世纪初，法国科学学院以柯西为首的科学家，对微积分的理论进行了认真研究，建 立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积 分的坚定基础。
  这才使微积分进一步发展开来。