解:
1)方程Y=X^2-2X-8=0的解为X=4或-2,故X1=4、X2=-2，即点
 A为(4,0),点B为(-2,0)。设抛物线解析式为Y=ax^2+bx+c,则：
 4=c(1)
 0=16a+4b+c(2)
 0=4a-2b+c(3)
解之得：a=-0。
  5,b=1,c=4。故抛物线解析式为Y=-0。5x^2+c+4;
2)设点P坐标为(m,0),则S⊿CPE=S⊿CBP-S⊿EBP。
直线PE平行于AC，则S⊿EBP/S⊿CBA=(PB/AB)^2即:
S⊿EBP/[(4-│-2│)*4/2]=[(m+│-2│)/6]^2;
S⊿EBP/12=(m+2)^2/36,S⊿EBP=[(m+2)^2]/3。
  
又S⊿CBP=（m+2)*4/2=2m+4。
则S⊿CEP=S⊿CBP-S⊿EBP=2m+4-[(m+2)^2]/3=(-1/3)*(m-1)^2+3
故m=1时，S⊿ECP最大。此时点P为（1，0）
3)抛物线Y=-0。5x^2+x+4=-0。
  5(x-1)^2+9/4,则对称轴为X=1；
(1)设BC的垂直平分线交对称轴于Q1，交BC于点N，则Q1C=Q1B。
过点B(-2,0)、C(0,4)的直线BC为：Y=2x+4;
线段BC中点N的坐标为(-1,2),NQ1与BC垂直：
设直线NQ1为：y=(-1/2)x+b',则2=1/2+b',b'=1。
  5;
所以直线NQ1解析式为Y=(-1/2)x+1。5,x=1时，Y=1。即点Q1(1,1);
(2)若BC为腰，B为顶角顶点时，以B为圆心、BC(√20)的长为半径画弧分别交对称轴于Q3、Q2，
则HQ2=HQ3=√[(√20)^2-BH^2]=√(20-9)=√11,所以：
点Q2、Q3分别为(1,-√11)、（1，√11）；
(3)若BC为腰，C为顶角顶点时，以C为圆心、BC的长为半径画弧分别交对称轴于Q4、Q5，同理相似可求得点Q4、Q5的坐标分别为：
(1,4+√19)、（1,4-√19)。
  
即对称轴X=1上存在点Q，使得⊿QBC为等腰三角形，这样的点Q有5个，分别为：
(1,1),(1,-√11),(1,√11),(1,4+√19),(1,4-√19)。