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越快越好,2^2 4^2 6^2 …… (2n-2)^2求和

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越快越好,2^2 4^2 6^2 …… (2n-2)^2求和

2^2 4^2 6^2 …… (2n-2)^2求和

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    2018-01-30 09:35:31
  •   利用自然数平方和公式: 
    1^2 2^2 3^2 …… n^2=n(n 1)(2n 1)/6。
    1^2 2^2 3^2 …… (n-1)^2=(n-1)n(2n-1)/6。

    2^2 4^2 6^2 …… (2n-2)^2=
    (2*1)^2 (2*2)^2 (2*3)^2 。
      。。。 [2*(n-1)]^2=
    2^2*{1^2 2^2 3^2 …… (n-1)^2}=
    4*(n-1)n(2n-1)/6。
    2(n-1)n(2n-1)/3。



    附:自然数平方和公式的推导
    由两数立方和公式:
    (n 1)^3-n^3=3n^2 3n 1
    n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2 3(n-1) 1
    (n-1)^3-(n-3)^3=3(n-1)^2 3(n-2) 1
    ……………………………………
    3^3 -2^3=3*2^2 3*2 1
    2^3 -1^3=3*1^3 3*1 1^3
    以上等式的两边分别相加得到
    (n 1)^3-1^3=3(1^2 2^2 3^2 …… n^2)
    3(1 2 3 …… n)
    (1 1 1 …… 1)
    ∴3(1^2 2^2 3^2 …… n^2)=(n 1)^3-1-3n(n 1)/2-n
    =(n 1)(n^2 2n-3n/2-n)
    =(n 1)n(n 1/2)
    =n(n 1)(2n 1)/2。
      
    ∴1^2 2^2 3^2 …… n^2=n(n 1)(2n 1)/6。

    我没有逞强_

    2018-01-30 09:35:31

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