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如何证明托罗密定理(初3圆)

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如何证明托罗密定理(初3圆)

如何证明托罗密定理(初3圆)问题补充:定理是1个圆内接四边形,2对边的乘积之和等于四边形2对角线的乘积

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    2018-12-02 01:30:47
  •   由于画不了图,这里仅提供思路:设圆内接四边形的四条边长分别为a, b, c, d; 其对角线长分别为e, f。根据题意,是要证明 ef=ac bd (这里省略乘号)。思路: ef再乘以其夹角正弦值的一半即为该四边形的面积(很易证明的)。然而,a和c、 b和d分别互为对边,它们的乘积与三角形的面积扯不上关系,所以要想办法分别将a和c、 b和d转化为某四边形的两对邻边(而这个四边形也内接于该圆且其面积与原四边形相等)!具体办法办法如下:设原四边形的顶点分别是A, B, C, D(逆时针排序), DA=a,AB=b,BC=c,CD=d。
       过点D作DD'平行于对角线AC并交圆于D',连结AD'和CD',得到一个新的四边形ABCD',根据圆的性质知AD'=CD=d, CD'=AD=a, 这样原本是互为对边的a和c、b和d就转化为四边ABCD'的邻边了,而且四边形ABCD'的面积与四边形ABCD的面积相等(因为三角形ACD’与三角形CAD全等,而三角形ABC不变)!然后证明原四边形的对角线e和f的夹角与新四边形中的顶角BCD’(或顶角BAD’)相等或互补。
      最后用三角形的面积公式及一些面积等量代换即可。设 原四边形的对角线e和f的夹角为 β,连结BD',则面积 S(原四边形ABCD)=(1/2)ef*sinβ= S(新四边形ABCD’)=(1/2)ac*(sin角BCD’) (1/2)bd*(sin角BAD’)=(1/2)*(ac bd)*(sin角BCD’) =(1/2)*(ac bd)*(sin角BAD’)(因为 角BCD’与角BAD’互补)。
      即(1/2)ef*sinβ= (1/2)*(ac bd)*(sin角BCD’)[或者 =(1/2)*(ac bd)*(sin角BAD’)],接下来证明 β与角BCD’(或角BAD’)互等或互补即可。就说到这儿,后面的证明很明了,你可以根据以上所述画图,自己证明就行了。
      楼上的兄弟说用余弦定理,我没试过。但我说的方法一定可以证明的。



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    纹***

    2018-12-02 01:30:47

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