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一道物理题

一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为M和2M的小球A和B,支架的两直角边长度分别为2L和L,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动,开始时OA边处于水平位置,由静止释放,则()

A.A球的最大速度为2√gl
B.A,B两球的最大速度之比为2:1
C.A球速度最大时,两小球的总重力势能最小
D.A球速度最大时,两直角边与竖直方向的夹角为45度.


好评回答

    2018-04-10 05:14:12
  •   首先要选C。
    被支架限制,两球的角速度是一样的。
    加速过程中,其中的能量变化是:两球合起来的重力势能转换为两球合起来的动能。反之,减速的过程是动能重新转换为重力势能。
    因此速度最大的时候,也就是两小球动能最大的时候,也即重力势能转为动能最多的时候,所以,两小球重力势能最小。
       同角速度情况下,球的线速度之比等于其半径之比,故球A和球B的线速度为2:1,因此选项B有选择。 什么时候速度最大呢? 在当前的情况下,对于O点,OA的力矩为mg×2L,OB的力矩为2mg×0,所以,AOB系统有向顺时针方向旋转的趋势。
      转到OA的力矩=OB的力矩时候,速度达到最大;超过,则AOB系统有向逆时针方向旋转的趋势。 所以假设OA的力矩=OB的力矩时候,OA与竖直方向的夹角为x,则 OA的力矩=mg×(2L×Sin x),OB的力矩=2mg × (L ×Sin (90度-x))。
      化简,即求x,使得 Sin x =Cos x。因此 x=45度。所以D要选。 最大速度是多少? 这就从球的位置看,转到速度最大的时候: 球B的高度减少 2L × Cos x,重力势能减少了mg×(2L × Cos 45)=π mgL。 球A的高度提升 L-L×Cos(90-x),重力势能增加了 2mg×(L-L×Cos(90-45))=(2-π)mgL 所以总体势能减少了π mgL-(2-π)mgL=(2π -2)mgL 总体动能增加0。
      5×m×v^2+0。5×2m×(0。5v)^2= (2π -2)mgL 所以求得 v =√(8(π -1)gL/3) 所以,上述的最终选项为BCD。

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