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求定值

F是抛物线y^2=2px的焦点,AB是过F点的弦。 
求证:1/FA+1/FB是定值,并求出这个定值。
(请不要用极坐标)

好评回答

    2018-02-09 22:53:39
  • F是抛物线y^2=2px的焦点,AB是过F点的弦。 
    求证:1/FA+1/FB是定值,并求出这个定值。
    焦点F(p/2,0),设直线x-p/2=ky,
    则x^2-px+p^2/4=k^2y^2=2pk^2*x
    x^2-(p+2pk^2)x+p^2/4=0
    x1+x2=p+2pk^2, x1x2=p^2/4.
    线段FA、FB的长是点A、B到准线x=-p/2的距离,
    则FA=x1+p/2, FB=x2+p/2,
    1/FA+1/FB=1/(x1+p/2)+1/(x2+p/2)
    =(x1+x2+p)/[x1x2+p(x1+x2)/2+p^2/4]
    =2p(1+k^2)/[p^2/4+p^2/2+p^2*k^2+p^2/4]
    =2p(1+k^2)/[p^2(1+k^2)]
    =2/p
    为定值 2/p.
    代入y^2=2px,
    

其他答案

    2018-02-10 03:53:39
  • 证明:设FA=m,FB=n,即证(1/m)+(1/n)=2/p.
    (1) 当AB⊥x轴时,∵ m=n=p, ∴ (1/m)+(1/n)=2/p.
    (2) 当AB不⊥x轴时,设AB:y=k(x-p/2),A(x1,y1),B(x2,y2),由定义
    m=x1+(p/2),n=x2+(p/2),把AB方程代入抛物线方程,得
    (kx)^2-(k^2p+2p)x+(kp)^2/4=0, ∴ x1+x2=(k^2p+2p)/k^2,
    x1x2=p^2/4. 
    ∴ (1/m)+(1/n)=(m+n)/(mn)=(x1+x2+p/[x1x2+(p/2)(x1+x2)+(p^2)/4]=2/p.
     

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