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求定值

F是抛物线y^2=2px的焦点,AB是过F点的弦。 
求证:1/FA+1/FB是定值,并求出这个定值。
(请不要用极坐标)

好评回答

BYBJ | 1分钟前 522 87
F是抛物线y^2=2px的焦点,AB是过F点的弦。 
求证:1
FA+1
FB是定值,并求出这个定值。 焦点F(p
2,0),设直线x-p
2=ky, 则x^2-px+p^2
4=k^2y^2=2pk^2*x x^2-(p+2pk^2)x+p^2
4=0 x1+x2=p+2pk^2, x1x2=p^2
4. 线段FA、FB的长是点A、B到准线x=-p
2的距离, 则FA=x1+p
2, FB=x2+p
2, 1
FA+1
FB=1
(x1+p
2)+1
(x2+p
2) =(x1+x2+p)
[x1x2+p(x1+x2)
2+p^2
4] =2p(1+k^2)
[p^2
4+p^2
2+p^2*k^2+p^2
4] =2p(1+k^2)
[p^2(1+k^2)] =2
p 为定值 2
p. 代入y^2=2px,

其他答案(共1个回答)

  • 证明:设FA=m,FB=n,即证(1
    m)+(1
    n)=2
    p. (1) 当AB⊥x轴时,∵ m=n=p, ∴ (1
    m)+(1
    n)=2
    p. (2) 当AB不⊥x轴时,设AB:y=k(x-p
    2),A(x1,y1),B(x2,y2),由定义 m=x1+(p
    2),n=x2+(p
    2),把AB方程代入抛物线方程,得 ...

    查看全部>>

    证明:设FA=m,FB=n,即证(1
    m)+(1
    n)=2
    p. (1) 当AB⊥x轴时,∵ m=n=p, ∴ (1
    m)+(1
    n)=2
    p. (2) 当AB不⊥x轴时,设AB:y=k(x-p
    2),A(x1,y1),B(x2,y2),由定义 m=x1+(p
    2),n=x2+(p
    2),把AB方程代入抛物线方程,得 (kx)^2-(k^2p+2p)x+(kp)^2
    4=0, ∴ x1+x2=(k^2p+2p)
    k^2, x1x2=p^2
    4. ∴ (1
    m)+(1
    n)=(m+n)
    (mn)=(x1+x2+p
    [x1x2+(p
    2)(x1+x2)+(p^2)
    4]=2
    p.
    曼丽 | 1分钟前 464 87
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