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矩阵AB=BA的充要条件是?

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矩阵AB=BA的充要条件是?

矩阵AB=BA的充要条件是?

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  • 2006-11-27 16:10:57
     A,B如果互为逆方阵,即:A^-1=B ,这显然可推出:AB=BA=E。不过,这仅仅是充分条件,并非楼主所要的充分要条件。
    AB=BA充要条件:方阵A 行(列)向量与方阵B的行(列)向量正交。 也即,把组成A的行(或列)向量的正交向量找出。然后用正交向量对应构造方阵B。(这个问题讨论的前提是A,B为方阵)
    证明是很容易的。

    油墨大湿

    2006-11-27 16:10:57

其他答案

    2006-11-27 14:37:30
  • 矩阵AB=BA的充要条件是AB是实对称矩阵
    其中:何为实对称矩阵:满足A(T)=A,即矩阵A与其转置矩阵相等。

    zhouhm...

    2006-11-27 14:37:30

  • 2006-11-23 10:33:39
  • AB=BA,证明A,B可逆,而可逆的充要条件是它们的行列式不为0

    吁吁

    2006-11-23 10:33:39

  • 2006-11-22 20:53:01
  •   
    自己看看吧
    ===========================================================
    A,B都是正定矩阵 证明AB是正定矩阵的充要条件是 AB=BA 
    必要性:AB正定,所以AB为对称矩阵,AB=(AB)(T)=B(T)A(T)=BA 所以:AB=BA ,即A,B可交换
    充分性:由AB=BA得 AB为实对称矩阵,r(AB)=r(A)=n (A,B为正定,则A,B可逆,所以r(A)=n) 
    由r(AB)=n得,r(f)=n 所以:AB矩阵的正惯性系数为n
    所以:AB为正定矩阵 
    =====================================
    An,Bn是正定矩阵,AB=BA
    (1)证明AB是正定矩阵 
    (2)为何:AB=BA,A、B是正定阵==>AB为实对称矩阵 
    (1)证明:
    因为AB正定,所以A`=A,B`=B且存在可逆矩阵P,Q,使A=P`P,B=Q`Q。
       故(AB)`=B`A`=BA=AB,即AB是对称矩阵。 Q(AB)(Q^-1)=Q(P`P)(Q`Q)(Q^-1)=(PQ`)`(PQ`) 记M=PQ`,因PQ均可逆,知M可逆,M`M正定。 AB相似于M`M,从而AB的特征值全大于0,故AB是正定矩阵。
       (2)对称是一个矩阵正定的前提,也就是说只有对称矩阵才有资格被讨论是否为正定矩阵,而正定矩阵必为对称矩阵。 。

    有来无回

    2006-11-22 20:53:01

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