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求证a立方 b立方 c立方大于等于3abc

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求证a立方 b立方 c立方大于等于3abc

求证a立方加b立方加c立方大于等于3abc

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  • 2005-02-03 19:36:22
      证明:(用比较法。)已知a>0,b>0,c>0。
    a^3+b^3+c^3-3abc
    =(a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3)+c^3-3a^2*b-3ab^2-3abc
    =(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)
    =(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
    =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
    又因为a^2+b^2+c^2>=2ab;b^2+c^2>=2bc;c^2+a^2>=2ca。
      (a=b=c时等号成立) 两边同时相加,得到:2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca) 所以:a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca。 故得到:a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>=0 又因为:a+b+c>0。
       两边分别相乘得到:(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)>=0 于是对一切正实数a、b、c都有a^3+b^3+c^3>=3abc成立。 当仅当a=b=c时等号成立。 【这可都是教科书上的定理及其证明呀!读书难道比上网困难的很多么?】。
      

    y***

    2005-02-03 19:36:22

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