极坐标方程
极坐标方程
1.极坐标系 考查要点: (1)会用极坐标确定点的位置; (2)一个极坐标对应唯一的点,但是一个点的极坐标可以有无数种表示形式,如P(ρ, θ)又可以表示成 (ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+(2k+1)π),其中k∈Z。
例1.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置是( )。 A、关于极轴所在直线对称 B、关于极点对称 C、重合 D、关于直线θ=(ρ∈R)对称 分析:点(-ρ,π-θ)与点(ρ,-θ)是同一个点,它与点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称,答案选A。
例2.在极坐标系中,如果等边三角形的两个顶点是A(2, ), B(2, ),那么顶点C的坐标可能是( )。 A、(4, π) B、(2, π) C、(2, π) D、(3, π) 分析:由题设可知A、B两点交于极点O对称,即O是AB的中点。
又|AB|=4,ΔABC为正三角形, ∴|OC|=2,∠AOC=, ∴C对应的极角θ=+=π 或θ=-=-,即C点极坐标为(2, π)或(2, -) ∴选B。 2.极坐标与直角坐标互化 考查要点: (1)会进行点的极坐标与直角坐标的互化; (2)能正确地将极坐标方程化为直角坐标方程。
例3.已知P(-3,), (1)若极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴正向相同,则P点的极坐标是_________。 (2)若极坐标系的极点在直角坐标系的O'(-3+,2),极轴的方向与x轴正向相同,两个坐标系的长度单位相同,则P点的极坐标是__________。
分析:(1)ρ==2,tgθ=-, ∵P点在第二象限,∴θ=π, ∴P点极坐标为(2,π)。 (2)如图,tga==1, ∴a=, ∴θ=∠x'O'P=π+=π, ρ=|O'P|==, ∴在极坐标系O'x'中,P点的极坐标是(,π)。
例4.极坐标方程ρ=cos(-θ)所表示的曲线是( ) A、双曲线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆 方法1:将方程化为直角坐标方程,可以判断曲线形状,由于ρ不恒等于0,方程两边同乘ρ,得: ρ2=ρcos(-θ)=ρ(cosθ+sinθ)=(ρcosθ+ρsinθ) 这样,在以极点为原点,以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中, ρcosθ=x, ρsinθ=y, ρ2=x2+y2, 因此有: x2+y2=(x+y), ∴ 方程ρ=cos(-θ)表示圆。
方法2:极坐标方程ρ=2acosθ表示圆,而-θ与极轴的旋转有关,它只影响圆心的位置,而不改变曲线的形状,故方程ρ=cos(-θ)表示圆。 答案:选D。 例5.极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是( ) A、2 B、 C、1 D、 分析:本题有两种解法。
第一种解法直接在极坐标系中,根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是 (,0)和(,),这两点间的距离是。第二种解法是将方程化为直角坐标方程,因为ρ不恒为0,可以用ρ分别乘方程两边,得: ρ2=ρcosθ和ρ2=ρsinθ,极坐标方程化直角坐标方程为: x2+y2=x和x2+y2=y,它们的圆心分别是(,0),(0,),圆心距是。
∴ 选D。 3.根据所给条件,建立曲线的极坐标方程,并利用方程研究曲线的某些性质。 例6.在极坐标系中,已知圆C的圆心C(3,),半径为1。Q点在圆周上运动,O为极点。 (I)求圆C的极坐标方程 (II)若P在直线OQ上运动,且满足OQ∶QP=2∶3,求动点P的轨迹方程。
解:(I)设M(ρ, θ)为圆C上任意一点,如图, 在ΔOCM中,|OC|=3,|OM|=ρ,|CM|=1, ∠COM=|θ-|,根据余弦定理,得: 1=ρ2+9-2·ρ·3·cos|θ-|, 化简整理,得: ρ2-6·ρcos(θ-)+8=0为圆C的轨迹方程。
(II)设Q(ρ1, θ1),则有:ρ12-6ρ1cos(θ1-)+8=0。。。。。。。。。(1) 设P(ρ, θ), 则OQ∶QP=ρ1∶(ρ-ρ1)=2∶3 ρ1=ρ, 又θ1=θ,即 代入(1)得:ρ2-6·ρcos(θ-)+8=0, 整理得ρ2-15ρcos(θ-)+50=0为P点的轨迹方程。
习题: 1.点A的直角坐标为(0,-2),则它的极坐标为__________;点B的极坐标为(-2, -),则它的直角坐标是________。 2.求下列各图形的极坐标方程: (1)过A(2,)平行于极轴的直线 (2)过A(3,)且和极轴成π的直线 (3)圆心在M(2,π),半径为1 的圆 3.进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。
(1)y2=4x (2)y2+x2-2x-1=0 (3)θ= (4)ρcos2=1 (5)ρ2cos(2θ)=4 (6)ρ=。
答案: 1.(2,-)(其它等价形式均可),(-1,) 2.(1)ρsinθ= (2)ρ(sinθ+cosθ)=+ (3)ρ2+4ρcosθ+3=0 3.(1)ρsin2θ=4cosθ (2)ρ2-2ρcosθ-1=0 (3)y=x (x≥0) (4)y2=-4(x-1) (5)x2-y2=4 (6)3x2+4y2-2x-1=0 。
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答:椭圆的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)是以左焦点F1为极点O,射线F1F2为极轴,依据椭圆的第二定义得来 此时极点到椭圆的左准线是p,椭圆的任意点P(ρ,...详情>>
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