一道集合数学题
已知:A={(x,y)|x=n,y=an+b,n∈Z},
B={(x,y)|x=m,y=3m*m+15,m∈Z},
C={(x,y)|x*x+y*y小于等于144}.
问：是否存在实数a,b使得 A∩B不等于空集和(a,b)∈C同时成立？
（请写出解答过程）
A∩B≠Φ的意思是存在实数a、b和整数x使得y = ax + b = 3x^2 + 15，x∈Z成立，（a, b）∈C表示a^2 + b^2 ≤ 144。这样，问题转化为：是否存在实数a、b，使得 ① a^2 + b^2 ≤ 144；② ax + b = 3x^2 + 15；③ x∈Z 以上三个条件满足。
由②得：3x^2–ax + 15–b = 0 因为x∈Z，所以其判别式：Δ=（–a）^2–12（15–b）≥ 0 即是 a^2 ≥ 180–12b。因此 a^2 + b^2 ≥（180–12b）+ b^2 =（b–6）^2 + 144 ≥ 144 在考虑到①，有 144 ≤ a^2 + b^2 ≤ 144，所以a^2 + b^2 = 144。
此时 b = 6，a = ±6倍根号3，Δ=（–a）^2–12（15–b）= 0，有x = a / b = ±根号3，这与③矛盾。 故a、b不存在。
这是1985年全国高考题的压轴题。 以下是标准答案： A表示直线 y = ax + b 上的横坐标为整数的点 的集合； B表示抛物线 y = 3x^2 + 15 上的横坐标为整数的点的集合； A∩B≠Φ的意思是直线和抛物线有公共点且横坐标为整数 ——其必要条件为：首先必须有公共点， 即 联立所得的方程 3x^2 - ax + 15 - b = 0 （★）首先必须有实数根 于是 △≥0，得 a^2 ≥ 180 - 12b -------- ① 又 (a,b)∈C 即 a^2 + b^2 ≤ 144 -------- ② ①与②联立消去 a^2（由a^2传递），得 b^2 - 12b + 36 ≤ 0 可知 只有 b = 6 。 从而 a^2 = 108 ，a = ±6√3 但经验证，此时方程（★）却没有整数根。 于是，不存在符合条件的a、b。
解：
答：如果不等式 |x-a| ＜ 1 成立的充分不必要条件是 1/2 ＜ x ＜ 3/2 则实数a的取值范围是（ ） Ａ、1/2 ＜ a ＜ 3/2 Ｂ、1/2 ...详情>>
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