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不等式4

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不等式4

设a、b、c∈R+,证明:
2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b).

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好评回答
  • 2013-10-20 10:33:44
      可用排序不等式:
    不妨设a≥b≥c>0,则
    a^2≥b≥c^2,b+c  
    三式相加,得
    a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)≤1/3·(a^2+b^2+c^2)(2a+2b+2c)。
       同理,由a^2、b^2、c^2与a、b、c同序,依排序不等式有: 2(a^3+b^3+c^3)≥2/3·(a^2+b^2+c^2)(a+b+c), 故2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)。

    柳***

    2013-10-20 10:33:44

其他答案

    2013-10-19 13:57:26
  • ∵2(a^3+b^3+c^3)-[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]
    =a^2(a-b)+a^2(a-c)+b^2(b-c)+b^2(b-a)+c^2(c-a)+c^2(c-b)
    =(a^2-b^2)(a-b)+(c^2-a^2)(c-a)+(b^2-c^2)(b-c)
    =(a+b)(a-b)^2+(c+a)(c-a)^2+(b+c)(b-c)^2≥0    (a、b、c∈R+)
    ∴2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

    j***

    2013-10-19 13:57:26

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