三角函数求值域问题
求函数y=(sinxcosx)/(1+sinx+cosx)的值域
求函数y=(sinxcosx)/(1+sinx+cosx)的值域 解析:设sinx+cosx=t, 其中t=√2sin(x+π/4)∈〔-√2,-1)∪(- 1,√2〕 则 2sinxcosx=(sinx+cosx)^2-1=t^2-1 即 sinxcosx=(t^2-1)/2 ∴ y=(sinxcosx)/(1+sinx+cosx) =〔(t^2-1)/2〕/(1+t) =(t-1)/2 ∵t∈〔-√2,-1)∪(-1,√2〕 ∴(t-1)∈〔-√2-1,-2)∪(-2,√2-1〕 (t-1)/2∈〔(-√2-1)/2,-1)∪(-1,(√2-1)/2〕 故:函数y=(sinxcosx)/(1+sinx+cosx)的值域为 〔(-√2-1)/2,-1)∪(-1,(√2-1)/2〕 。
设sinx+cosx=t-1,因为(sinx)^2+(cosx)^2=1 即:(sinx+cosx)^2-2sinxcosx=1,所以sinxcosx=(t^2-2t)/2 所以y=(t^2-2t)/2t=t/2-1,又因为sinx+cosx=√2sin(x+π/4) 所以t-1=√2sin(x+π/4),所以t=√2sin(x+π/4)+1 而-√2≤√2sin(x+π/4)≤√2 所以1-√2≤t≤1+√2,所以-(1+√2)/2≤t/2-1≤(√2-1)/2 即y=(sinxcosx)/(1+sinx+cosx)的值域为[-(1+√2)/2,(√2-1)/2]
换元法!注意新元的范围!
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