数列与函数
已知数列a(n)满足a1=1,a(n+1)=[2a(n)-9]/[a(n)-4],求通项a(n) 2)f(x)为定义域为R的偶函数,且在[0,正无穷)上单调递减,求f(1-x^2)的单调递减区间
(1) A1=1, A(n+1)=2+[1/(4-An)],∴ A2=2+(1/3),A3=2+3/5,猜想n≥2时,An=2+[(2n-3)/(2n-1)] ,证明如下:
i) n=2时已知是成立的。 ii)假设n=k时,Ak=2+[(2k-3)/(2k-1)],则n=k+1时,A(k+1)=2+[1/(4-Ak)]=2+{1/[2-(2k-3)/(2k-1)]}=2+(2k-1)/(2k+1)=2+[2(k+1)-3]/[2(k+1)-1],即n=k+1时,猜想成立。
由i),ii)可知,猜想正确。∴ A1=1,An=2+[(2n-3)/(2n-1)] (n≥2)
(2) 设t=g(x)=-x^+1,它在(-∞,0]上是增函数,在[0,+∞)上是减函数, ∵ f(t)为定义域为R的偶函数,且在t∈[0,+∞)上单调递减,∴ 它在t∈(-∞,0]上单调递增。
而当x∈[-1,0]时,t∈[0,1],当x∈[1,+∞)时,t∈(-∞,1]。由复合函数的单调性知,f(1-x^2)的单调递减区间是[-1,0]∪[1,+∞)。
这个题其实还是很难的，属于竞赛内容了，不动点的方法，高考学生们如果没学过的话就猜想把。不动点的方法是：把an+1 、an全都看成一个未知数x，然后把右边的分母乘过去，得到一个一元二次方程，解出来x=3，3就是这个数列的不动点。然后把原来数列左右同时减去3， a(n+1)-3=[-a(n)+3]/[a(n)-4],这时候把两边同时取倒数，得到1/[a(n+1)-3]=1/[a(n)-3] -1，好了，然后就可以作了，把1/[a(n+1)-3]换元为b(n+1)，这就好做了。 哦对，第二题就不是这么难了，曼丽算得应该对，我见过她很多回答都是不错的。
f(1-x^2)的单调递减区间是[-1,0]∪[1,+∞). 单调区间不能用∪,只能写成[-1,0],[1,+∞)
问：(1/3)^(x^2-x)的单调递减区间是_________
答：复合函数,同增异减 因为y=(1/3)^p为减 所以整个的但减区间应该是p=x^2-x=(x-1/2)^2-1/4的单增区间 所以是(1/2,+无穷)详情>>
答：招生广告哟！ 参加培训肯定有好处！详情>>
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