（1）用25米长的篱笆围城一面靠墙（如图）的大长方形，养棚，已知墙长长不超过12米，如果是养鸡棚的总面积为75平方米，求长方形的长和宽！
设长方形的长为x米（0＜x＜12），则宽为(25-x)/2米
所以，面积S=x*(25-x)/2=75
===> 25x-x^2=150
===> x^2-25x+150=0
===> (x-10)*(x-15)=0
===> x1=10，x2=15（舍去）
所以，长为10米，宽为7。
  5米。
（2）设X1 ，X2是方程X²-2（m-1）X+M²-3=0的两个实数根； 
①当m取何值时，X1 ≠X2 
△=[-2(m-1)]^2-4(m^2-3)=4(m-1)^2-4(m^2-3)
=4(m^2-2m+1)-4m^2+12
=-8m+16＞0
所以，m＜2。
  
②当X1²+X2²=4时，求M的值； 
由一元二次方程根与系数的关系有：
x1+x2=2(m-1)
x1x2=m^2-3
所以，x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4
===> [2(m-1)]^2-2(m^2-3)-4=0
===> 4m^2-8m+4-2m^2+6-4=0
===> 2m^2-8m+6=0
===> 2(m-1)(m-3)=0
===> m1=1，m2=3
由①知，m≤2时，方程有实数根
所以，m=1。
  
（3）已知关于X的一元一次方程X²+bx+c=X有两个实数根X1 ，X2，满足X1＞0，X2-X1 ＞1。
   
①尝试证明c＞0
x^2+bx+c=x ===> x^2+(b-1)x+x=0 
由一元二次方程根与系数的关系有：
x1+x2=1-b
x1x2=c
已知x1＞0，x2-x1＞1
所以，x2＞x1+1＞0
所以，c=x1*x2＞0
②证明b²＞2（b+2c）
已知x2-x1＞1
所以，(x2-x1)^2＞1
===> (x1-x2)^2＞1
===> (x1+x2)^2-4x1x2＞1
===> (1-b)^2-4c＞1
===> 1-2b+b^2-4c＞1
===> b^2＞2b+4c
即，b^2＞2(b+2c)。