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初中代数难题

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初中代数难题

设a+b+c=0,证明:

[(a^2+b^2+c^2)/2]×[(a^5+b^5+c^5)/5]=(a^7+b^7+c^7)/7.

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  • 2011-06-14 20:21:20
      本题在本栏目曾出现过,楼主可搜一下;
    hbc3193老师有过一个较为简优美洁的证法如下:
    设u=a+b,v=ab,
    则a^2+b^2+c^2=2u^2-2v
        a^5+b^5+c^5=5v(u^3-uv)
        a^7+b^7+c^7=-7v(u^5-2u^3v+uv^2)
    ∴左边=(u^2-v)[v(u^3-uv)]
              =v(u^5-2u^3v+uv^2)
              =右边,
    故原恒等式成立。
       本人只想出一个很笨的证明方法如下: 令ab+bc+ca=B,abc=C, 则a、b、c是x^3+Bx-C=0的三根, ∴a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=-2B a^3=-Ba+C,b^3=-bB+C,c^3=-Bc+C。
       故a^3+b^3+c^3=-B(a+b+c)+3C=3C。 令Sn=a^n+b^n+c^n,则 S1=0,S2=-2B,S3=3C。 故所证式等价于: (1/2)S2×(1/5)S5=(1/7)S7 …… (*) ∵a^(n+3)=-Ba^(n+1)+Ca^n, b^(n+3)=-Bb^(n+1)+Cb^n, c^(n+3)=-Bc^(n+1)+Cc^n。
       ∴S=-BS+CS。 从而, S4=-BS2+CS1=-B(-2B)=2B^2, S5=-BS3+CS2=-B×3C+C×(-2B)=-5BC, S6=-BS4+CS3=-B×2B^2+C×3C=-2B^3+3C^2, S7=-BS5+CS4=-B×(-5BC)+C×2B^2=7B^2C。
       ∴(1/2)S2×(1/5)S5=-B(-BC)=B^2C, (1/7)S7=B^2C, 即(1/2)S2×(1/5)S5=(1/7)S7, (*)式得证,故原等式得证。

    柳树临风

    2011-06-14 20:21:20

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