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已知n是正整数,且2n+1与3n+1都是完全平方数,是否存在n,使得5n+3是质数?如果存在,请求出所有n的值,如果不存在请说明理由

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  • 2011-04-16 20:03:11
    已知n是正整数,且2n+1与3n+1都是完全平方数
    解:1、得   n=40,
       5n+3=5*40+3=203
       因为203=29*7,不是是质数。
     2、设2n+1=k2,3n+1=m2,其中k,m都是正整数,
      则5n+3=4(2n+1)-(3n+1)=4k2-m2=(2k+m)(2k-m)
    若2k-m≠1,则5n+3不是质数、
    若2k-m=1,则5n+3=2k+m=2m+1,
    于是(m-1)2=m2-2m+1=m2-(2m+1)+2=(3n+1)-(5n+3)+2=-2n<0,矛盾,
    综上所述,不存在正整数n,使得5n+3是质数.
     

    求***

    2011-04-16 20:03:11

其他答案

    2011-04-16 21:00:29
  • 设 2n+1=a^2,3n+1=b^2,其中a,b都是正整数。
    则 5n+3=4(2n+1)-(3n+1)=4b^2-a^2=(2b+a)(2b-a)。
    这里 5n+3 是质数的必要条件(下同)为 2b-a=1,即 a=2b-1,
    此时 5n+3=2b+a=4b-1,
    又 5n+3=(2n+1)+(3n+1)+1=a^2+b^2+1=(2b-1)^2+b^2+1。
    即 5b^2-4b+2=4b-1 ===> 5b^2-8b+3=0 ===> (5b-3)(b-1)=0,
    ===> b=1 ===> a=1 ===> n=0。
    所以符合题意的正整数n是不存在的。
    

    山***

    2011-04-16 21:00:29

  • 2011-04-16 19:53:30
  • 对不起,撤销!

    B***

    2011-04-16 19:53:30

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