数学题
已知n是正整数,且2n+1与3n+1都是完全平方数,是否存在n,使得5n+3是质数?如果存在,请求出所有n的值,如果不存在请说明理由
已知n是正整数,且2n+1与3n+1都是完全平方数 解:1、得 n=40, 5n+3=5*40+3=203 因为203=29*7,不是是质数。 2、设2n+1=k2,3n+1=m2,其中k,m都是正整数, 则5n+3=4(2n+1)-(3n+1)=4k2-m2=(2k+m)(2k-m) 若2k-m≠1,则5n+3不是质数、 若2k-m=1,则5n+3=2k+m=2m+1, 于是(m-1)2=m2-2m+1=m2-(2m+1)+2=(3n+1)-(5n+3)+2=-2n<0,矛盾, 综上所述,不存在正整数n,使得5n+3是质数.
设 2n+1=a^2,3n+1=b^2,其中a,b都是正整数。 则 5n+3=4(2n+1)-(3n+1)=4b^2-a^2=(2b+a)(2b-a)。 这里 5n+3 是质数的必要条件(下同)为 2b-a=1,即 a=2b-1, 此时 5n+3=2b+a=4b-1, 又 5n+3=(2n+1)+(3n+1)+1=a^2+b^2+1=(2b-1)^2+b^2+1。 即 5b^2-4b+2=4b-1 ===> 5b^2-8b+3=0 ===> (5b-3)(b-1)=0, ===> b=1 ===> a=1 ===> n=0。 所以符合题意的正整数n是不存在的。
对不起,撤销!
问:初等数论是否存在连续的1999个正整数,使得其中只有一个数是质数?
答:我给你估计一下,你要的质数在什么范围内. 设小于等于n的质数的个数为π(n),如:π(2)=1,π(3)=π(4)=2,.. 定理:2≤n,则π(n)≤12n/...详情>>
答:详情>>
答:对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生,他总是循循善诱地予以启发和教育,而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人,则毫不客气地予以批评详情>>