已知抛物线y=2x的平方上有异于原点O的动点A、B满足向量OA乘向量OB等于零。求三角形ABO的面积最小值。
因为A、B异于点O，且向量OA乘向量OB=0
所以，OA⊥OB
点A、B在抛物线y=2x^2上，则设A(x1,2x1^2)，B(x2,2x2^2)
则，Koa=(2x1^2-0)/(x1-0)=2x1，Kob=(2x2^2-0)/(x2-0)=2x2
所以，2x1*2x2=-1
即，x1*x2=-1/4……………………………………………………（1）
过A、B两点的直线为：(y-2x1^2)/(2x1^2-2x2^2)=(x-x1)/(x1-x2)
===> (y-2x1^2)/[2(x1+x2)(x1-x2)]=(x-x1)/(x1-x2)
===> y-2x1^2=2(x1+x2)(x-x1)
===> y-2x1^2=2(x1x-x1^2+x2*x-x1x2)=2x1x-2x1^2+2x2*x-2x1x2
===> y=2(x1+x2)x-2x1x2
===> y=2(x1+x2)x-2*(-1/4)
===> y=2(x1+x2)x+(1/2)
那么，过AB的直线与y轴的交点为(0,1/2)，也就是抛物线的焦点F
因为：S△AOB=S△AOF+S△BOF
=(1/2)*|OF|*|x1|+(1/2)*|OF|*|x2|
=(1/2)*(1/2)*|x1|+(1/2)*(1/2)*|x2|
=(1/4)[|x1|+|x2|]
因为过抛物线焦点的直线交于抛物线对称轴两侧
所以，(不妨设)x1＞0，x2＜0
所以，S△AOB=(1/4)(x1-x2)………………………………………（2）
由(1)知，x2=-1/(4x1)，代入(2)有：
S△AOB=(1/4)*[x1+1/(4x1)]≥(1/4)*2√[x1*(1/4x1)]=(1/4)*(1/2)=1/8
所以，△AOB面积最小值为1/8
第二题：已知数列an是等比数列，且a1,a3,a2,成等比数列，若a=4，求数列an的通项公式。
  
已知an为等比数列，设首项为a1，公比为q
则，a3=a1*q^2，a2=a1*q
又已知a1，a3，a2也成等比，则：a3^2=a1*a2
===> (a1*q^2)^2=a1*a1*q
===> a1^2*q^4=a1^2*q
===> q^4=q
===> q*(q^3-1)=0
===> q^3-1=0
===> (q-1)*(q^2+q+1)=0
===> q=1
即等比数列公比为q=1
已知a=4
所以，数列an的通项公式为：an=4（常数列）。