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请证明互质数

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请证明互质数

请证明
两个互质数的和(或差)与原来的数仍然是互质数.

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  • 2010-10-09 14:59:04
    M和N互质,则M+N和M或N也互质。
    反证法:若M+N和M不互质,则有公约数K,且存在正整数P,Q,使M+N=PK,M=QK。
    所以N=(M+N)-M=PK-QK=(P-Q)K,说明K是M和N的公约数,这与题意条件【M和N互质】矛盾。
    于是可以得到结论【M+N和M或N也互质】。

    山路水桥

    2010-10-09 14:59:04

其他答案

    2010-10-09 15:28:54
  • 设a、b互质,证明a与a-b互质。
    证明:反证法
    假设a与a-b不互质,则a与a-b有大于1的公因子d,
    即 d|a且d|(a-b)
    于是存在整数e、f(e>f否则b<=0)使得
      a=d*e;a-b=d*f;
    于是b=d*(e-f)
    所以d|b;
    即d为a、b的公因子,与a、b互质矛盾,
    所以假设不成立。
    (b与a-b互质证明相同)

    wangyu...

    2010-10-09 15:28:54

  • 2010-10-09 15:16:33
  •  
    设:两个互质数分别是X,Y.X+Y=Z;X-Y=C.(X>Y);求证:Z与X,Y互质;C与X,Y互质.
    (1)两个互质数分别是X,Y.X+Y=Z  --->  X(不≡)Z (mod X)-->  X与Z互质! Y(不≡)Z (mod Y)-->  Y与Z互质! 
    (2)两个互质数分别是X,Y.X-Y=C  --->  X(不≡)C (mod X)-->  X与C互质! Y(不≡)C (mod Y)-->  Y与C互质! 
    故:(1)与(2)--->两个互质数的和(或差)与原来的数仍然是互质数.

    学习驾

    2010-10-09 15:16:33

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