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高数中的介值定理与零点定理有什么区别?

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高数中的介值定理与零点定理有什么区别?

介值定理与零点定理我感觉很相同,从概念上也很相似,但不知区别在哪里,有知道的人可以帮我讲一下,通俗一点,谢谢了.

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好评回答
  • 2010-03-12 22:38:58
      定理(介值定理)  连续函数的在一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。
    定理(零点定理)  设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与 f(b)异号(即f(a)× f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点ξ(a<ξ  
    零点定理是介值定理的特殊情形。
    可以看出,他的特殊在于,1)区间的两端值为异号,2)介值为一个特定值,零,
    而介值定理更一般,1)区间的两端为任意值,2)介值可以是一个区间中的任意值,
    所以,介值定理更具有普遍意义,用途也就更广泛。
      
       -------------------- 补充: 所谓根,即函数值为零时的x值,所以,以零点定理更为适用,此时,选择恰当的区间,(两端值为异号)是个关键。 而因介值定理具有普遍意义,所以,总是可以用的,关键是要善于运用, 另:利用图像来理解,可能更容易接受! 。

其他答案

    2010-03-18 22:36:18
  •   对于工科院校非数学专业学生来说,由于没有实数理论基础,【介值定理】是不证明的,【零值点定理】只是作为【介值定理】的一个推论。
    与数学专业学生要求不一样的还有,数学专业要求会证明【零值点定理】或【介值定理】。非数学专业要求不是证明这两个定理,而是熟练地应用这两个定理。
       f(x)在[a,b]上连续,即使对于[a,b]上含有c的任一个子区间[α,β]有f(α)*f(β)>0,并不排除f(c)=0的可能性。例如f(x)=x^2,[a,b]=[-1,1],c=0。 【注意这里反例f(x)=x^2在[-1,1]上不单调】 ====================================================== ================对于你的补充问题的回答================ ====================================================== 要研究讨论方程f(x)=0在区间[a,b]上有n个根(n可以是0或1),用的定理的 【1】零值点定理:若f(x)在[a,b]上连续,且f(a)*f(b)<0,那么方程f(x)=0在(a,b)上至少有一个根【f(a)*f(b)≤0,那么方程f(x)=0在[a,b]上至少有一个根】; 【2】利用单调性判别:若f(x)在[a,b]上单调(严格意义下的单调),那么方程f(x)=0在[a,b]上至多有一个根。
       在【1】存在性的前提下,【2】就是唯一性了。即【1】辅以【2】就是有且仅有一个根。 但是实际操作时是先执行【2】后执行【1】的———— 若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导。 【①】利用f'(x)的符号,将区间[a,b]划分成n个单调区间[x(k-1),x(k)],k=1,2,……,n,x(0)=a,x(n)=b。
      则方程f(x)=0在[a,b]上至多有n个根。 【②】[x(k-1),x(k)]上研究判断f[x(k-1)]*f[x(k)]的符号即可断定方程f(x)=0在[x(k-1),x(k)]是否有根?如果有只可能有一个。 。

    山路水桥

    2010-03-18 22:36:18

  • 2010-03-12 23:18:01
  • 零点定理与介值定理意思差不多,
    零点定理是与x轴的交点
    介值定理是与两数之间的交点 
    其实质都是讲函数连续性的。 只要是连续函数,问题就明了了。 连续在于一个 x 有一个y值的对应性。
    而“零点”、“介质” ,都是指函数定义域上[x轴上]一个点 所对应的函数值是 0或某个特殊值。x轴上的这个对应点,也在某些情况下称作根。
    如f(x)=c找介值点,相当于对函数 f(x)-c 来说,就是找零点了。即寻找让函数=0的x轴上的点。 

    rinoce...

    2010-03-12 23:18:01

  • 2010-03-12 22:09:01
  • 零点定理是介值定理的特殊情形,零点定理更容易理解,因而总是先学习零点定理,然后用零点定理来证明介值定理。
    虽然零点定理只是介值定理的特殊情形,但很多关于介值定理的题目是用零点定理解决的。

    107852...

    2010-03-12 22:09:01

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