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过椭圆x^2/5+y^2/4=1的左焦点作椭圆的弦,求弦中点的轨迹方程。

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  • 2009-06-26 20:17:10
      椭圆x^2/5+y^2/4=1的左焦点是:(-1,0)
    设:椭圆的弦的两个交点是:A(x1,y1),B(x2,y2),中点D(x,y)
    则有:x1+x2=2x,y1+y2=2y
    ∴x1^2/5+y1^2/4=1----------------------------------(1)
    x2^2/5+y2^2/4=1------------------------------------(2)
    (2)-(1)得:
    (x2-x1)(x2+x1)/5+(y2-y1)(y2+y1)/4=0
    ==>4(x2-x1)(x2+x1)+5(y2-y1)(y2+y1)=0
    ==>8x(x2-x1)+10y(y2-y1)=0
    ==>(y2-y1)/(x2-x1)=-8x/10y=-4x/5y-----------------(3)
    当左焦点弦的斜率存在时;
    (3)==>k=-4x/5y
    又:K=y/(x+1)
    ∴-4x/5y=y/(x+1)
    ==>4x^2+5y^2+4x=0---------------------------------(4)
    当左焦点弦的斜率不存在时,中点就是左焦点(-1,0)
    也在方程(4)上。
       即:弦中点的轨迹方程是:4x^2+5y^2+4x=0。

    肖***

    2009-06-26 20:17:10

其他答案

    2009-06-26 20:35:27
  • x^2/5+y^2/4=1
    两边对x求导(y看成是关于x的函数):
    2x/5+2yy'/4=0
    y'=(-4x)/(5y)
    设中点为M(x,y),则中点弦的斜率k=(-4x)/(5y)
    【有关圆锥曲线的中点弦问题,均可采用此法,一般可简化计算过程,楼上肖学者的解答印证了其正确性】
    x^2/5+y^2/4=1
    c=√(a^2-b^2)=1,左焦点F(-1,0)
    直线MF斜率k=y/(x+1)
    y/(x+1)=(-4x)/(5y)
    4x^2+4x+5y^2=0
    即为弦中点的轨迹方程

    z***

    2009-06-26 20:35:27

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