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求函数f(x)=2cosx+3sin2x-2sinx+5的最大值与最小值,并求出最小值时的x值

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  • 2008-08-23 12:23:17
      解:f(x)=2cosx+3sin2x-2sinx+5=2(cosx-sinx)+6sinxcosx+5  
    =2(cosx-sinx)-6[(sinx-cosx)²-1]/2+5  
    =2(cosx-sinx)-3(sinx-cosx)²+3+5  
    =-3(cosx-sinx)²+2(cosx-sinx)+8 根据五点法知:  
    (a)a=-3<0,抛物线的开口向下;  
    (b)抛物线的对称轴为(cosx-sinx)=-b/2a=-2/2*(-3)=1/3;  
    (c)抛物线的顶点为[(1/3),(25/3)];  
    又因为-根号2<=cosx-sinx〈=根号2,则二次函数的图象为它的一部分。
       综上:(1)当cosx-sinx=1/3时, 函数f(x)=2cosx+3sin2x-2sinx+5的最大值为25/3。 (2)当cosx-sinx=-根号2时, 函数f(x)=2cosx+3sin2x-2sinx+5的 最小值为(2-2根号2)。
       。

    清风拂墙

    2008-08-23 12:23:17

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