数学证明
证明:(1+1/n)的n次方<3 n为正整数
证明:(1+1/n)^n =1+C(n,1)(1/n)+C(n,2)(1/n)²+C(n,3)(1/n)³+…+(1/n)^n =1+1+[n(n-1)/2!](1/n)²+[n(n-1)(n-2)/3!](1/n)³+…+(1/n)^n =2+(1/2!)[1-(1/n)]+(1/3!)[1-(1/n)][1-(2/n)]+… +(1/n!)[1-(1/n)][1-(2/n)]…[1-(n-1)/n] <2+(1/2!)+(1/3!)+…+(1/n!) <2+(1/1*2)+(1/2*3)+…+[1/n(n-1)] =2+[1-(1/2)]+…+[1/(n-1)-1/n] =3-(1/n) <3
不论N是否为正整数 当N趋近于正无穷的时候 这个式子的极限是e 但是你的问题是可以用初等方法解决的 很简单 因为n取了正整数 而且要证其小于3即可 证法如下:( 注:Cab 表示的是组合数 从a个不同元素中取b个的取法 正式符号我打不出来 不好意思啦) 用二项式定理展开 等价于 1+Cn1*n+Cn2*n平方+Cn3*n^3+.....<3 等价于 1+1+(n-1)/(2*n)+n*(n-1)/(6*n^2)+......<3 因为Cnk*n^k=(n-1)*..*(n-k)/(k!*n^k)<1/k!<=1/(2^k) 所以原不等式左边<1+1+1/2+1/2^2+1/2^3+.....<3=右边 (因为1/2,1/4,1/8,。。。。这个等比数列前n项之和为1-(1/2)^n 始终小于一) 原结论成立 证毕 需要注意的是 该证法只对n为正整数的情况下适用
高中里学到的,lim(1+1/n)的n=e=2.718281828....<3
答:翻开任何一本微积分或高等数学教材,都可以找到这个证明,这里仅说一下思路: 定理:单调有界数列一定存在极限。 这是微积分学五个最基本的定理之一。 推论:单调增加的...详情>>
答:到“中国教育网”查查。详情>>