四边形知识点（1）

一、特殊的平行四边形

矩形：

(1)定义：有一四边形。

(2)性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。

(3)判定定理：

①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。②对角线相等的平行四边形是矩形。③有三个角是直角的四边形是矩形。

直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。

菱形：

(1)定义 ：邻边相等的平行四边形。

(2)性质：菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

(3)判定定理：

①一组邻边相等的平行四边形是菱形。

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

③四条边相等的四边形是菱形。

(4)面积：

正方形：

(1)定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

(2)性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分。 正方形既是矩形，又是菱形。

(3)正方形判定定理：

①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;

②一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形;

③对角线互相垂直的矩形是正方形;

④邻边相等的矩形是正方形

⑤有一个角是直角的菱形是正方形;

⑥对角线相等的菱形是正方形。

二、矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系：

矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，其性质都是在平行四边形的基础上扩充来的。矩形是由平行四边形增加“一个角为90°”的条件得到的，它在角和对角线方面具有比平行四边形更多的特性;菱形是由平行四边形增加“一组邻边相等”的条件得到的，它在边和对角线方面具有比平行四边形更多的特性;正方形是由平行四边形增加“一组邻边相等”和“一个角为90°”两个条件得到的，它在边、角和对角线方面都具有比平行四边形更多的特性。

矩形、菱形的判定可以根据出发点不同而分成两类：一类是以四边形为出发点进行判定，另一类是以平行四边形为出发点进行判定。而正方形除了上述两个出发点外，还可以从矩形和菱形出发进行判定。

三、判定一个四边形是特殊四边形的步骤：

常见考法

(1)利用菱形、矩形、正方形的性质进行边、角以及面积等计算;

(2)灵活运用判定定理证明一个四边形(或平行四边形)是菱形、矩形、正方形;

(3)一些折叠问题;

(4)矩形与直角三角形和等腰三角形有着密切联系、正方形与等腰直角三角形也有着密切联系。所以，以此为背景可以设置许多考题。

误区提醒

(1)平行四边形的所有性质矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱形、正方形具有的性质平行四边形不一定具有，这点易出现混淆;

(2)矩形、菱形具有的性质正方形都具有，而正方形具有的性质，矩形不一定具有，菱形也不一定具有，这点也易出现混淆;

(3)不能正确的理解和运用判定定理进行证明，(如在证明菱形时，把四条边相等的四边形是菱形误解成两组邻边相等的四边形是菱形);(3)再利用对角线长度求菱形的面积时，忘记乘;(3)判定一个四边形是特殊的平行四边形的条件不充分。

四边形知识点（2）

一、平行四边形

1、平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边平行且相等。(对边)

(2)平行四边形相邻的角互补，对角相等(对角)

(3)平行四边形的对角线互相平分。(对角线)

(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

(2)推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(对边)

(2)定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(对边)

(3)定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(对边)

(4)定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(对角)

(5)定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。(对角线)

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 注意：平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah

111

二、菱形

1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

(1)菱形的四条边相等，对边平行。 (边)

(2)菱形的相邻的角互补，对角相等。(对角)

(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。(对角线)

(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定

(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形。(边)

(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(对角线)

(4)定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。(对角线)

4、菱形的面积： S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

三、矩形

1、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

(1)矩形的对边平行且相等。(对边)

(2)矩形的四个角都是直角。(内角)

(3)矩形的对角线相等且互相平分。(对角线)

(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

3、矩形的判定

(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。(角)

(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。(对角线)

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4、矩形的面积:S矩形=长×宽=ab

四、正方形

1、正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

(1)正方形四条边都相等，对边平行。(边)

(2)正方形的四个角都是直角 (角)

(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角(对角线)

(4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点;对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3、正方形的判定

(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

(2)定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。

(3)定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。

(4)定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。

(5)定理4：对角线相等的菱形是正方形。

(6)定理5：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

(1)先证它是矩形，再证它是菱形。

(2)先证它是菱形，再证它是矩形。

四边形知识点（3）

一、成比例线段

1、定义：

(1)、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成

(2)、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),

那么(a+c+m)/(b+d++n)=a/b

二、平行线分线段成比例

1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线段成比例。

三、相似多边形

定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。

四、探索三角形相似的条件

1、两角分别相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

五、相似三角形判定定理的证明

六、利用相似三角形测高

1、利用阳光下的影子

2、利用标杆

3、利用镜子的反射

七、相似三角形的性质

1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。

2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

八、图形的位似

定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都 经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

四边形知识点（4）

一、平行四边形

1、平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边平行且相等。(对边)

(2)平行四边形相邻的角互补，对角相等(对角)

(3)平行四边形的对角线互相平分。(对角线)

(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

(2)推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(对边)

(2)定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(对边)

(3)定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(对边)

(4)定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(对角)

(5)定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。(对角线)

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 注意：平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah

111

二、菱形

1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

(1)菱形的四条边相等，对边平行。 (边)

(2)菱形的相邻的角互补，对角相等。(对角)

(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。(对角线)

(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定

(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形。(边)

(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(对角线)

(4)定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。(对角线)

4、菱形的面积： S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

三、矩形

1、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

(1)矩形的对边平行且相等。(对边)

(2)矩形的四个角都是直角。(内角)

(3)矩形的对角线相等且互相平分。(对角线)

(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

3、矩形的判定

(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。(角)

(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。(对角线)

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4、矩形的面积:S矩形=长×宽=ab

四、正方形

1、正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

(1)正方形四条边都相等，对边平行。(边)

(2)正方形的四个角都是直角 (角)

(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角(对角线)

(4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点;对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3、正方形的判定

(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

(2)定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。

(3)定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。

(4)定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。

(5)定理4：对角线相等的菱形是正方形。

(6)定理5：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

(1)先证它是矩形，再证它是菱形。

(2)先证它是菱形，再证它是矩形。

四边形知识点（5）

一、成比例线段

1、定义：

(1)、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成

(2)、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),

那么(a+c+m)/(b+d++n)=a/b

二、平行线分线段成比例

1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线段成比例。

三、相似多边形

定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。

四、探索三角形相似的条件

1、两角分别相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

五、相似三角形判定定理的证明

六、利用相似三角形测高

1、利用阳光下的影子

2、利用标杆

3、利用镜子的反射

七、相似三角形的性质

1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。

2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

八、图形的位似

定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都 经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

四边形知识点（6）

1、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

2、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

3、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2

4、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

5、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

        初二数学：平行四边形定理

四边形知识点（7）

平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形

平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

四边形知识点（8）

平行四边形的性质：

平行四边形的对边平行且相等;

平行四边形的对角相等;

平行四边形的两条对角线互相平分;

平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点;

平行四边形的判定：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;

矩 形

矩形特有的性质：

矩形的四个角都是直角;

矩形的对角线相等;

(外垂直内相等)

矩形的判定：

有一个角是直角的平行四边形是矩形;

对角线相等的平行四边形是矩形;

有三个角是直角的四边形是矩形;

菱 形

菱形特有的性质：

四条边都相等;

对角线互相垂直;

(外相等内垂直)

每条对角线平分一组对角;

菱形的判定：

一组邻边相等的平行四边形是菱形;

对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

四边相等的四边形是菱形;

正 方 形

正方形特有的性质：

四条边都相等;

四个角都是90°;

对角线相等且互相垂直平分;

每条对角线平分一组对角。

正方形的判定：

四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形;

一组邻边相等的矩形是正方形;

对角线互相垂直的矩形是正方形;

有一个角是直角的菱形是正方形;

对角线相等的菱形是正方形;

四边形知识点（9）

定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形

平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边平行且相等;

(2)平行四边形的邻角互补，对角相等;

(3)平行四边形的对角线互相平分;

平行四边形的判定

平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：

第一类：与四边形的对边有关

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

第二类：与四边形的对角有关

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

第三类：与四边形的对角线有关

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形

常见考法

(1)利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长;(2)求平行四边形某边的取值范围;(3)考查一些综合计算问题;(4)利用平行四边形性质证明角相等、线段相等和直线平行;(5)利用判定定理证明四边形是平行四边形。

误区提醒

(1)平行四边形的性质较多，易把对角线互相平分，错记成对角线相等;(2)“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”错记成“一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形”后者不是平行四边形的判定定理，它只是个等腰梯形。

四边形知识点（10）

一、特殊的平行四边形

矩形：

(1)定义：有一四边形。

(2)性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。

(3)判定定理：

①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。②对角线相等的平行四边形是矩形。③有三个角是直角的四边形是矩形。

直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。

菱形：

(1)定义 ：邻边相等的平行四边形。

(2)性质：菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

(3)判定定理：

①一组邻边相等的平行四边形是菱形。

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

③四条边相等的四边形是菱形。

(4)面积：

正方形：

(1)定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

(2)性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分。 正方形既是矩形，又是菱形。

(3)正方形判定定理：

①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;

②一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形;

③对角线互相垂直的矩形是正方形;

④邻边相等的矩形是正方形

⑤有一个角是直角的菱形是正方形;

⑥对角线相等的菱形是正方形。

二、矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系：

矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，其性质都是在平行四边形的基础上扩充来的。矩形是由平行四边形增加“一个角为90°”的条件得到的，它在角和对角线方面具有比平行四边形更多的特性;菱形是由平行四边形增加“一组邻边相等”的条件得到的，它在边和对角线方面具有比平行四边形更多的特性;正方形是由平行四边形增加“一组邻边相等”和“一个角为90°”两个条件得到的，它在边、角和对角线方面都具有比平行四边形更多的特性。

矩形、菱形的判定可以根据出发点不同而分成两类：一类是以四边形为出发点进行判定，另一类是以平行四边形为出发点进行判定。而正方形除了上述两个出发点外，还可以从矩形和菱形出发进行判定。

三、判定一个四边形是特殊四边形的步骤：

常见考法

(1)利用菱形、矩形、正方形的性质进行边、角以及面积等计算;

(2)灵活运用判定定理证明一个四边形(或平行四边形)是菱形、矩形、正方形;

(3)一些折叠问题;

(4)矩形与直角三角形和等腰三角形有着密切联系、正方形与等腰直角三角形也有着密切联系。所以，以此为背景可以设置许多考题。

误区提醒

(1)平行四边形的所有性质矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱形、正方形具有的性质平行四边形不一定具有，这点易出现混淆;

(2)矩形、菱形具有的性质正方形都具有，而正方形具有的性质，矩形不一定具有，菱形也不一定具有，这点也易出现混淆;

(3)不能正确的理解和运用判定定理进行证明，(如在证明菱形时，把四条边相等的四边形是菱形误解成两组邻边相等的四边形是菱形);(3)再利用对角线长度求菱形的面积时，忘记乘;(3)判定一个四边形是特殊的平行四边形的条件不充分。