圆的方程教案（1）

一、教材分析

本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

二、教学目标

1、 知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。

2、 能力目标：

(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力(3)培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。

三、重点、难点、疑点及解决办法

1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。

2、难点：圆的方程的应用。

3、解决办法 充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

四、学法

在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。采取学生共同探究问题的学习方法。

五、教法

先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。

六、教学步骤

（一）导入新课 首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。

（二）讲授新课

1、新知识学习在学生回顾确定直线的要素——两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合在平面直角坐标系中，圆心 可以用坐标 表示出来，半径长 是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点 的坐标 满足的关系式。经过化简，得到圆的标准方程

2、知识巩固

学生口答下面问题

1、求下列各圆的标准方程。

① 圆心坐标为（-4，-3）半径长度为6；

② 圆心坐标为（2，5）半径长度为3；2、求下列各圆的圆心坐标和半径。

3、知识的延伸根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。

例1要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何。

（三）知识的运用

例2给出不在同一直线上的三点，可以画出一个三角形，三角形有唯一的外接圆，因此可以求出他的标准方程。由于圆的标准方程含有三个参数 , ,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。引导学生找出求三个参数的方法，让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程

（四）小结一、知识概括

1、 圆心为 ，半径长度为 的圆的标准方程为

2、 判断给出一个点，这个点与圆什么关系。

3、 怎样建立一个坐标系，然后求出圆的标准方程。

4、思想方法

（1）建立平面直角坐标系，将曲线用方程来表示，然后用方程来研究曲线的性质，这是解析几何研究平面图形的基本思路，本节课的学习对于研究其他圆锥曲线有示范作用。

（2）曲线与方程之间对立与统一的关系正是“对立统一”的哲学观点在教学中的体现。

五、布置作业（第127页2、3、4题）

圆的方程教案（2）

1。教学目标

(1)知识目标: 1。在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;

2。会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程。

(2)能力目标: 1。进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;

2。使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;

3。增强学生用数学的意识。

(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

2。教学重点。难点

(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用。

(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰

当的坐标系解决与圆有关的实际问题。

3。教学过程

(一)创设情境(启迪思维)

问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2。7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?

[引导] 画图建系

[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)

解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2 y2=16(y≥0)

将x=2。7代入,得 。

即在离隧道中心线2。7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。

(二)深入探究(获得新知)

问题二:1。根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为 的圆的方程?

答:x2 y2=r2

2。如果圆心在 ,半径为 时又如何呢?

[学生活动] 探究圆的方程。

[教师预设] 方法一:坐标法

如图,设M(x,y)是圆上任意一点,根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={MMC=r}

由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为 ①

把①式两边平方,得(x?a)2 (y?b)2=r2

方法二:图形变换法

方法三:向量平移法

(三)应用举例(巩固提高)

圆的方程教案（3）

1、教学目标

（1）知识目标：

1、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；

2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程；

3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。

（2）能力目标：

1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；

2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；

3、增强学生用数学的意识。

（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

2、教学重点、难点

（1）教学重点：圆的标准方程的求法及其应用。

（2）教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程

②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。

3、教学过程

（一）创设情境（启迪思维）

问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

[引导]：画图建系

[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）

解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16（y≥0）

将x＝2。7代入，得

即在离隧道中心线2。7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。

（二）深入探究（获得新知）

问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？

答：x2＋y2＝r2

2、如果圆心在，半径为时又如何呢？

[学生活动]：探究圆的方程。

[教师预设]：方法一：坐标法

如图，设M（x，y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M

圆的方程教案（4）

1.教学目标

(1)知识目标: 1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;

2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.

(2)能力目标: 1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;

2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;

3.增强学生用数学的意识.

(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

2.教学重点.难点

(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用.

(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰

当的坐标系解决与圆有关的实际问题.

3.教学过程

(一)创设情境(启迪思维)

问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?

[引导] 画图建系

[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)

解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径ab所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2 y2=16(y≥0)

将x=2.7代入,得 .

即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。

(二)深入探究(获得新知)

问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为 的圆的方程?

答:x2 y2=r2

2.如果圆心在 ,半径为 时又如何呢?

[学生活动] 探究圆的方程。

[教师预设] 方法一:坐标法

如图,设m(x,y)是圆上任意一点,根据定义点m到圆心c的`距离等于r,所以圆c就是集合p={m||mc|=r}

由两点间的距离公式,点m适合的条件可表示为 ①

把①式两边平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2

方法二:图形变换法

方法三:向量平移法

(三)应用举例(巩固提高)

i.直接应用(内化新知)

问题三:1.写出下列各圆的方程(课本p77练习1)

(1)圆心在原点,半径为3;

(2)圆心在 ,半径为 ;

(3)经过点 ,圆心在点 .

2.根据圆的方程写出圆心和半径

(1) ; (2) .

ii.灵活应用(提升能力)

问题四:1.求以 为圆心,并且和直线 相切的圆的方程.

[教师引导]由问题三知:圆心与半径可以确定圆.

2.已知圆的方程为 ,求过圆上一点 的切线方程.

[学生活动]探究方法

[教师预设]

方法一:待定系数法(利用几何关系求斜率-垂直)

方法二:待定系数法(利用代数关系求斜率-联立方程)

方法三:轨迹法(利用勾股定理列关系式) [多媒体课件演示]

方法四:轨迹法(利用向量垂直列关系式)

3.你能归纳出具有一般性的结论吗?

已知圆的方程是 ,经过圆上一点 的切线的方程是: .

iii.实际应用(回归自然)

问题五:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱 的长度(精确到0.01m).

[多媒体课件演示创设实际问题情境]

(四)反馈训练(形成方法)

问题六:1.求以c(-1,-5)为圆心,并且和y轴相切的圆的方程.

2.已知点a(-4,-5),b(6,-1),求以ab为直径的圆的方程.

3.求圆x2 y2=13过点(-2,3)的切线方程.

4.已知圆的方程为 ,求过点 的切线方程.

圆的方程教案（5）

《圆的方程》的课堂教案设计

1、教学目标

（1）知识目标：

a、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；

b、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程；

c、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。

（2）能力目标：

a、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；

b、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；

c、增强学生用数学的意识。

（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

2、教学重点、难点

（1）教学重点： 圆的标准方程的求法及其应用。

（2）教学难点：

①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程

②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。

3、教学过程

（一）创设情境（启迪思维）

问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

[引导]：画图建系

[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）

解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16（y≥0）

将x=2.7代入，得

即在离隧道中心线2。7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。

（二）深入探究（获得新知）

问题二：

1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？

答：x2+y2=r2

2、如果圆心在，半径为时又如何呢？

[学生活动]：探究圆的方程。

[教师预设]：方法一：坐标法

如图，设M（x，y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}

由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①

把①式两边平方，得（x―a）2+（y―b）2=r2

方法二：图形变换法

方法三：向量平移法

（三）应用举例（巩固提高）

I直接应用（内化新知）

问题三：

1、写出下列各圆的方程（课本P77练习1）

（1）圆心在原点，半径为3；

（2）圆心在，半径为

（3）经过点，圆心在点

2、根据圆的方程写出圆心和半径

II灵活应用（提升能力）

问题四：

1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。

[教师引导] 由问题三知：圆心与半径可以确定圆。

2、求过点，圆心在直线上且与轴相切的圆的方程。

[教师引导] 应用待定系数法寻找圆心和半径。

3、已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程。

[学生活动] 探究方法

[教师预设]

多媒体课件演示：

方法一：待定系数法（利用几何关系求斜率—垂直）

方法二：待定系数法（利用代数关系求斜率—联立方程）

方法三：轨迹法（利用勾股定理列关系式）

方法四：轨迹法（利用向量垂直列关系式）

4、你能归纳出具有一般性的结论吗？

已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：

III实际应用（回归自然）

问题五：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0。01m）。

[多媒体课件演示创设实际问题情境]

（四）反馈训练（形成方法）

问题六：1、求以C（—1，—5）为圆心，并且和y轴相切的圆的方程。

2、已知点A（—4，—5），B（6，—1），求以AB为直径的圆的方程。

3、求过点且圆心在直线上的圆的标准方程。

4、求圆x2+y2=13过点P（—2，3）的切线方程。

5、已知圆的方程为，求过点的切线方程。

（五）小结反思（拓展引申）

1、课堂小结：

（1）知识性小结：

①圆心为C（a，b），半径为r 的圆的标准方程为：

当圆心在原点时，圆的标准方程为：

②已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：

（2）方法性小结：

①求圆的方程的方法：

I找出圆心和半径；

II待定系数法

②求解应用问题的一般方法

2、分层作业：

（A）巩固型作业：课本P81—82：（习题7.6）1、2、4

（B）思维拓展型作业：

试推导过圆上一点的切线方程。

3、激发新疑：

问题七：

1、把圆的标准方程展开后是什么形式？

2、方程：的曲线是什么图形？

设计说明

圆是学生比较熟悉的曲线。初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点就放在了用解析法研究它的方程和圆的.标准方程的一些应用上。首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由潜入深的解决问题，并通过最终在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识。另外，为了培养学生的理性思维，我分别在引例和问题四中，设计了两次由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。

本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、我的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想，应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时提锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。

圆的方程教案（6）

圆的方程的教案

㈠课时目标

1．掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。

2．待定系数法之应用。

㈡问题导学

问题1：写出圆心为（a，b），半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。 —2ax—2by+ =0

问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？

① ； ② 1

③ 0； ④ —2x+4y+4=0

⑤ —2x+4y+5=0； ⑥ —2x+4y+6=0

㈢教学过程

[情景设置]

把圆的标准方程 展开得 —2ax—2by+ =0

可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：

+Dx+Ey+F=0 ①

提问：方程表示的曲线是不是圆？一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗？

[探索研究]

将①配方得 ： （ ） ②

将方程 ②与圆的标准方程对照。

⑴当 ＞0时， 方程 ②表示圆心在 （— ），半径为 的.圆。

⑵当 =0时，方程①只表示一个点（— ）。

⑶当 ＜0时， 方程①无实数解，因此它不表示任何图形。

结论： 当 ＞0时， 方程 ①表示一个圆， 方程 ①叫做圆的一般方程。

圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了形式上的特点：

⑴ 和 的系数相同，不等于0；

⑵没有xy这样的二次项。

以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件，但不是充分条件

[知识应用与解题研究]

[例1] 求下列各圆的半径和圆心坐标。

⑴ —6x=0； ⑵ +2by=0（b≠0）

[例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。

分析：用待定系数法设方程为 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。

[例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。

分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。

反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。

㈣提炼总结

1．圆的一般方程： +Dx+Ey+F=0 （ ＞0）。

2．二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件是：A=C≠0且B=0。

3．圆的方程两种形式的选择：与圆心半径有直接关系时用标准式，无直接关系选一般式。

4．两圆的位置关系（相交、相离、相切、内含）。

㈤布置作业

1．直线l过点P（3，0）且与圆 —8x—2y+12=0截得的弦最短，则直线l的方程为：

2．求下列各圆的圆心、半径并画出它们的图形。

⑴ —2x—5=0； ⑵ +2x—4y—4=0

3．经过两圆 +6x—4=0和 +6y—28=0的交点，并且圆心在直线x—y—4=0上的圆的方程。