如图，已知抛物线C：x 2 =2py（p＞0）与圆O：x 2 y 2 =8相交于A、B两点，且 OA ?
如图，已知抛物线C：x 2 =2py（p＞0）与圆O：x 2 y 2 =8相交于A、B两点，且 OA ? OB =0 （O为坐标原点），直线l与圆O相切，切点在劣弧AB（含A、B两点）上，且与抛物线C相交于M、N两点，d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值时直线l的方程．
（Ⅰ）设点A的坐标为（x 1 ，y 1 ）（x 1 ＜0），
由于抛物线C和圆O关于y轴对称，故点B的坐标为（-x 1 ，y 1 ）．
∵ OA ? OB =0 ，
∴x 1 ?（-x 1 ） y 1 2 =0，
即-x 1 2 y 1 2 =0．
∵点A在抛物线C上，
∴x 1 2 =2py 1 ．
∴-2py 1 y 1 2 =0，即y 1 （-2p y 1 ）=0．
∵y 1 ≠0，
∴y 1 =2p．
∴x 1 =-2p．
∴点A的坐标为（-2p，2p）．
∵点A在圆O上，
∴（-2p） 2 （2p） 2 =8，又p＞0，解得p=1．
（Ⅱ）解法1：设直线l的方程为：y=kx b，因为l是圆O的切线，则有 |k?0-0 b| k 2 1 =2 2 ，
又b＞0，则 b=2 2 k 2 2 ．
即l的方程为： y=kx 2 2 k 2 2 ．
联立 y=kx 2 2 k 2 2 x 2 =2y。
即 y 2 -(2 k 2 4 2 k 2 2 )y 8( k 2 1)=0 ．
设M（x M ，y M ），N（x N ，y N ），则 y M y N =2 k 2 4 2 k 2 2 ．
如图，设抛物线C的焦点为F，准线为L，作MM 1 ⊥L，NN 1 ⊥L，垂足分别为M 1 ，N 1 ．
由抛物线的定义有：d=|MF| |NF|=|MM 1 | |NN 1 |=y M y N 1= 2 k 2 4 2 k 2 2 1 ．
令 t= 2 k 2 2 ，则2k 2 =t 2 -2．
∴d=t 2 4t-1=（t 2） 2 -5．
又∵-1≤k≤1，
∴ 2 ≤t≤2 ．
∴当t=2时，d有最大值11．
当t=2时，k=±1，故直线l的方程为y=±x 4．
解法2：设直线l与圆O相切的切点坐标为（x 0 ，y 0 ），则切线l的方程为x 0 x y 0 y=8．
由 x 0 x y 0 y=8 x 2 =2y 消去x，得y 0 2 y 2 -（16y 0 2x 0 2 ）y 64=0．
设M（x M ，y M ），N（x N ，y N ），则 y M y N = 16 y 0 2 x 20 y 20 ．
如图，设抛物线C的焦点为F，准线为L，作MM 1 ⊥L，NN 1 ⊥L，垂足分别为M 1 ，N 1 ．
由抛物线的定义有：d=|MF| |NF|=|MM 1 | |NN 1 |=y M y N 1= 16 y 0 2 x 20 y 20 1 ．
∵x 0 2 =8-y 0 2 ， d= 16 y 0 2(8- y 20 ) y 20 1 = 16 y 20 16 y 0 -1 = 16( 1 y 0 1 2 ) 2 -5 ．
∵ 2≤ y 0 ≤2
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男孩0742 | 四级 采纳率65%
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