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已知椭圆以坐标轴为对称轴,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆最短距离是根号3,求椭圆准线方程

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全部答案

    2007-01-16 12:55:16
  • 首先来明确“焦点到椭圆的最短距离”:
    设椭圆为X^2/a^2^+Y^2/b^2=1(a为半长轴,b为半短轴),焦点为(c,0)且c^2=a^2-b^2。
    则距离平方=(X-c)^2+Y^2,从椭圆方程导出以X^2表示的Y^2带入距离表达式,得(X-c)^2+b^2-X^2·b^2/a^2=(c^2/a^2)X^2-2cX+a^2。
    从上式图像可以知道,该抛物线在X=a^2/c处取得极小值,但该点不在椭圆内。该二次函数在区间(-a,a)上的极小值在X=a处取得,此时最小距离a-c。按题中所示,即a-c=根号3。
    再来看题中的“正三角形”,它告诉我们a=2c。
    综合两个条件,不难求出a=2×根号3,c=根号3。
    剩下的事情你自己该可以搞定了,呵呵^_^。

    愚***

    2007-01-16 12:55:16

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