函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。
因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。 例：设y=蕊(x)是定义在区间［－1，1］上的函数，且满足条件： （i）f(－1)＝f(1)＝0； （ii）对任意的u,v∈［－1，1］,都有—f(u)-f(v)—≤—u-v—。
（Ⅰ）证明：对任意的x∈［－1，1］,都有x-1≤f(x)≤1-x； （Ⅱ）证明：对任意的u,v∈［－1，1］，都有—f(u)-f(v)—≤1。 解题： （Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x∈［－1，1］时，有f(x)=f(x)-f(1)≤—x-1—=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x。
（Ⅱ）证明：对任意的u,v∈［－1，1］,当—u-v—≤1时，有—f(u)-f(v)—≤1 当—u-v—>1，u·v0且v-u>1,其中v∈(0，1］,u∈［－1，0) 要想使已知条件起到作用，须在［－1，0)上取一点，使之与u配合以利用已知条件，结合f(－1)＝f(1)＝0知，这个点可选－1。
同理，须在(0，1］上取点1，使之与v配合以利用已知条件。所以，—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(－1)—＋—f(v)-f(1)—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-(v-u)<1 综上可知，对任意的u,v∈［－1，1］都有—f(u)-f(v)—≤1。
点评：有关抽象函数问题中往往会给出函数所满足的等式或不等式，因此在解决有关问题时，首先应对所要证明或求解的式子作结构上的变化，使所要证明或求解的问题的结构与已知的相同。如本题未给出函数y=f(x)的解析表达式，而给出了一组特定的对应关系f(－1)=f(1)=0，以及两个变量之差的绝对值不小于对应的函数值之差的绝对值的一般关系。
在（1）的证明中，利用f(1)=0,把f(x)改写成—f(x)—＝—f(x)－f(1)—；在（2）的证明中，利用f(－1)＝f(1)＝0，把—f(u)-f(v)—改写成—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(－1)—＋—f(v)-f(1)—，这些变形起了重要的作用，因为是这些变化创造了使用条件的机会，也创造了解决问题的捷径。
另外，有关抽象函数问题中所给的函数性质往往是对定义域内的一切实数都成立的，因此根据题意，将一般问题特殊化，选取适当的特值（如令x=1，y＝0等），这是解决有关抽象函数问题的非常重要的策略之一。 总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难奏效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，同时在运用这些策略时要做到密切配合，相得益彰。
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我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。这种函数表现形式的抽象性，使得直接求解析式比较难。解决这类函数可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过恰当的运算和推理加以解决。下面分类举例加以说明。 一、判断函数的奇偶性 例1。
若 对于任意实数x，y均成立，且f(x)不恒为0，请判断函数f(x)的奇偶性。 解：令 则有 ，故有 令 ，则有 ，故有 ，又因为 不恒为0，所以函数f(x)是奇函数。 例2。 已知函数 为非零函数，若有 ，试判断函数 的奇偶性。 解：令 ，则有 ，故有 令 ，则有 ，故有 令 ，则有 ，且 为非零函数，所以函数 是偶函数。
二、判断函数的单调性 例3。 函数 ，当 时， ，且对任何实数x，y恒有 ，试判断函数 的单调性。 解：令 ，则有 ，故有 又有 当 时， ，当 时， ，故有 ，而 ，故有 。 又当x＝0时， ，故对于任何 ，有 。 令 ， 故 所以函数 是减函数。
三、判断函数的周期性 例4。 函数 ，对任何实数a、b恒有 ，且存在常数 ，使 ，求证： 为周期函数。 证明：令 ， 则 即 又 所以函数 是周期函数，最小正周期为2c。 四、求函数的解析式 例5。 设x≠0，函数 满足 ，求函数 的解析式。
解：由题意知 用x换 代入上式得： 则①×2－②得： 所以 五、求函数的值域 例6。 函数 为增函数，且满足 ，求函数 的值域。 解：令 ，则有 。 ①当 时，不妨令 ， 则有 故当 。 ②当 时，有 有 故当 时，有 所以当 时函数 的值域为R。
［练一练］ 若对常数m和实数 ，等式 恒成立，求证：函数 是周期函数。 提示： ， 。 年级 高中 学科 数学 版本 期数 内容标题 浅淡赋值法在抽象函数中的应用 分类索引号 G。622。46 分类索引描述 辅导与自学 主题词 浅淡赋值法在抽象函数中的应用 栏目名称 学法指导 。
抽象函数说难也难,说简单也简单.你可不要思维定式,不然的话就糟了. 抽象函数就像是1+1=2
我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。这种函数表现形式的抽象性，使得直接求解析式比较难。解决这类函数可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过恰当的运算和推理加以解决。下面分类举例加以说明。 一、判断函数的奇偶性 例1。
若 对于任意实数x，y均成立，且f(x)不恒为0，请判断函数f(x)的奇偶性。 解：令 则有 ，故有 令 ，则有 ，故有 ，又因为 不恒为0，所以函数f(x)是奇函数。 例2。 已知函数 为非零函数，若有 ，试判断函数 的奇偶性。 解：令 ，则有 ，故有 令 ，则有 ，故有 令 ，则有 ，且 为非零函数，所以函数 是偶函数。
二、判断函数的单调性 例3。 函数 ，当 时， ，且对任何实数x，y恒有 ，试判断函数 的单调性。 解：令 ，则有 ，故有 又有 当 时， ，当 时， ，故有 ，而 ，故有 。 又当x＝0时， ，故对于任何 ，有 。 令 ， 故 所以函数 是减函数。
三、判断函数的周期性 例4。 函数 ，对任何实数a、b恒有 ，且存在常数 ，使 ，求证： 为周期函数。 证明：令 ， 则 即 又 所以函数 是周期函数，最小正周期为2c。 四、求函数的解析式 例5。 设x≠0，函数 满足 ，求函数 的解析式。
解：由题意知 用x换 代入上式得： 则①×2－②得： 所以 五、求函数的值域 例6。 函数 为增函数，且满足 ，求函数 的值域。 解：令 ，则有 。 ①当 时，不妨令 ， 则有 故当 。 ②当 时，有 有 故当 时，有 所以当 时函数 的值域为R。
［练一练］ 若对常数m和实数 ，等式 恒成立，求证：函数 是周期函数。 提示： ， 。 年级 高中 学科 数学 版本 期数 内容标题 浅淡赋值法在抽象函数中的应用 分类索引号 G。622。46 分类索引描述 辅导与自学 主题词 浅淡赋值法在抽象函数中的应用 栏目名称 学法指导 。
浅淡赋值法在抽象函数中的应用
张鸿群
我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。这种函数表现形式的抽象性，使得直接求解析式比较难。解决这类函数可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过恰当的运算和推理加以解决。
下面分类举例加以说明。
一、判断函数的奇偶性
例1。 若 对于任意实数x，y均成立，且f(x)不恒为0，请判断函数f(x)的奇偶性。
解：令 则有 ，故有
令 ，则有 ，故有 ，又因为 不恒为0，所以函数f(x)是奇函数。
例2。 已知函数 为非零函数，若有 ，试判断函数 的奇偶性。
解：令 ，则有 ，故有
令 ，则有 ，故有
令 ，则有 ，且 为非零函数，所以函数 是偶函数。
二、判断函数的单调性
例3。 函数 ，当 时， ，且对任何实数x，y恒有 ，试判断函数 的单调性。
解：令 ，则有 ，故有
又有
当 时， ，当 时， ，故有 ，而 ，故有 。
又当x＝0时， ，故对于任何 ，有 。
令 ，
故
所以函数 是减函数。
三、判断函数的周期性
例4。
函数 ，对任何实数a、b恒有 ，且存在常数 ，使 ，求证： 为周期函数。
证明：令 ，
则
即
又
所以函数 是周期函数，最小正周期为2c。
四、求函数的解析式
例5。 设x≠0，函数 满足 ，求函数 的解析式。
解：由题意知
用x换 代入上式得：
则①×2－②得：
所以
五、求函数的值域
例6。 函数 为增函数，且满足 ，求函数 的值域。
解：令 ，则有 。
①当 时，不妨令 ，
则有
故当 。
②当 时，有
有
故当 时，有
所以当 时函数 的值域为R。
［练一练］
若对常数m和实数 ，等式 恒成立，求证：函数 是周期函数。
提示： ，
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年级 高中 学科 数学 版本 期数
内容标题 浅淡赋值法在抽象函数中的应用
分类索引号 G。
622。46 分类索引描述 辅导与自学
主题词 浅淡赋值法在抽象函数中的应用 栏目名称 学法指导
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答：普遍性寓于特殊性之中。因此用赋值法解决抽象数学问题时，常用于寻找解法和反例。所选用的数值需是简单而有代表性。不光解决函数问题，其他问题也常常如此。教科书里就有不...详情>>
答：在青慧教育网上有些北京上海的网络工程教育信息，你可以去看看，详情>>
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