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求解函数方程

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求解函数方程

函数f:R→R,f((x-y)/(x+y))=(f(x)-f(y))/(f(x)+f(y)),
求f(x)=?

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  • 2005-08-29 20:14:19
      设f可导,(或在某1点可导)
    1。显然x=y,得f(0)=0,
     y =0,得f(1)=1。
    2。设y=ux==》
    f((1-u)/(1+u))=(f(x)-f(ux))/(f(x)+f(ux))=
    =2f(x)/(f(x)+f(ux))-1,
    两边对x求导,得
    0=2(f'(x)f(ux)-uf(x)f'(ux))/[(f(x)+f(ux))^2]==>
    ==>f'(x)f(ux)-uf(x)f'(ux))=0,u=y/x
    ==>xf'(x)/f(x)=yf'(y)f'(y)=常数C
    3。
      解微分方程:xf'(x)/f(x)=C 得:f(x)=Dx^C,代入f(1)=1==》D=1。 f:R→R==》C为自然数。 f(0)=0,C>0。 x=1==>f((1-y)/(1+y))=(1-f(y))/(1+f(y)), ==>((1-y)/(1+y))^C=(1-(y)^C)/(1+(y)^C), (1) (1)两边对y求导,再y=0==》C=1 ==》f(x)=x 4。
      若无连续,可导等条件。可用Zorn定理构造 许多符合f((x-y)/(x+y))=(f(x)-f(y))/(f(x)+f(y))的函数, 但这些函数表示不出来,只能证明存在。 。

    146984...

    2005-08-29 20:14:19

其他答案

    2005-08-29 15:50:11
  • f(x)=0
    这个问题可以采取特殊值法
    取Y=O 就可以得到F(X)=[F(0)+F(0)F(1)]/[1-f(1)]
    取X=Y就可以得到F(0)=0
    于是函数值恒等于零

    guojia...

    2005-08-29 15:50:11

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