依均值不等式，得
(a^2+b^2)/(ab+c^2)+(b^2+c^2)/(bc+a^2)+(c^2+a^2)/(ca+b^2)
≥2(a^2+b^2)/[(b^2+c^2)+(c^2+a^2)]+2(b^2+c^2)/[(a^2+b^2)+(c^2+a^2)]+2(c^2+a^2)/[(a^2+b^2)+(b^2+c^2)]。
…(1)
令x＝a^2+b^2,y＝b^2+c^2,z＝c^2+a^2,
依Cauchy不等式有以下不等式：
x/(y+z)+y(z+x)+z/(x+y)≥3/2,
∴(1)右边≥3，取等条件是a＝b＝c。
下面证明:
(a^2+b^2)/(ab+c^2)<2(a^2+b^2)/(a^2+b^2+c^2)
→(a-b)^2
同理可得，
(b^2+c^2)/(bc+a^2)<2(b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2),
(c^2+a^2)/(ca+b^2)<2(c^2+a^2)/(a^2+b^2+c^2)。
三式相加，即得所证式。
全部
