函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间[a,b]?D,使得函数满足:(1)f(x)在[a,b]内是单调函数;(2)f
函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间[a,b]?D,使得函数满足:
(1)f(x)在[a,b]内是单调函数;
(2)f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为y=f(x)的“和谐区间”,
下列函数中存在“和谐区间”的是______.
①f(x)=x2(x≥0)
②f(x)=2 x2?1 2x-1(x≥0)
③f(x)=x 1x(x>0)
④f(x)=4xx2 1(x≥0)
①当x≥0时,f(x)=x2在[0,2]上是单调增函数,
且f(x)在[0,2]上的值域是[0,4],
∴存在“和谐区间”,原命题正确;
②∵f(x)=2 x2?1 2x-1(x≥0)单调递增,
∴如果存在则f(a)=2af(b)=2b即f(x)=2x有2个非负根,
令g(x)=f(x)-2x=2 x2?1-1(x≥0)
∵g(x)在[0, ∞)单调递增,
∴不可能有2个零点,
∴f(x)=2x不可能有2个非负根,故②错误.
③f(x)=x 1x(x>0)
如果存在则f(a)=2af(b)=2b即f(x)=2x有2个非负根,
则g(x)=f(x)-2x=1x-x,在[0, ∞)单调递减,
∴不可能有2个零点,
∴f(x)=2x不可能有2个非负根,故③错误.
④当x≥0时,f(x)=4xx2 1=4x 1x≤2在[0,1]上是单调增函数,
且f(x)在[0,1]上的值域是[0,2],
∴存在“和谐区间”,原命题正确;
故答案为:①,④。
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