微分流形
一、 流形的基本概念：流形的定义和基本例子，子流形，切空间和切丛，光滑函数、光滑映射及切映射。要求了解球面、环面、射影空间等基本例子，并了解一维、二维流形的分类。要求了解浸入（immersion）、嵌入（embedding）、淹没（submersion）和微分同胚的概念。
二、 正则性、奇异性及其应用：正则点和正则值，临界点和临界值，sard定理，morse引理，thom横截性定理。要求了解映射度的概念，并能运用正则值的概念验证某些空间是流形。
三、 光滑向量场和可积性定理：光滑向量场及其奇点的定义，lie括号，积分曲线和动力系统，euler-poincare公式，frobenius可积性定理。
四、 lie群和lie 群作用初步：lie群和lie代数的定义和基本例子，单参数子群，指数映射，lie群在流形上的作用，基本向量场，齐性空间等。要求能够验证一些常见的矩阵群为lie群并计算它们的lie代数，并对一些低维lie群的流形结构较为熟悉。
要求能将一些常见流形写成齐性流形。
五、 微分形式和积分：微分形式和外积的定义和性质，外微分，内积，lie 导数，cartan公式，de rham上同调，poincare对偶，laplace算子，hodge理论初步，定向和微分形式的积分，带边流形和stokes定理。
要求掌握单位分解的技巧，要求了解外微分和stokes定理的古典形式。要求能够计算常见流形和二维流形的上同调环。
六、 riemann 几何初步：riemann度量，levi-civita联络，christoffel符号，rieman曲率，截曲率，常截曲率流形的模型。
要求能够从给定的riemann度量计算riemann曲率。要求对向量丛的概念和张量运算较为熟悉。
黎曼流形
爱因斯坦的广义相对论告诉我们，引力并不是真正的力，而是反映空间扭曲的一个几何现象。对一个考察者来说，他身处在这个空间里，是无法直接体会到空间扭曲的。
但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲，测量的标准就是所谓的度量。 度量是内蕴性质。 具有度量的空间就称为黎曼空间。
具体的定义如下：
黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，换句话说，这个流形上有一个对称 正定 协变 二阶张量场， 亦即每一点处有一个2阶正定矩阵。
给了度量以后， 我们就可以向数学分析里做的那样，建立起微积分的理论。
欧氏空间有自然的度量ds^2=(dx_1)^2 。。。 (dx_n)^2。它的矩阵就是单位矩阵。
欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量。
曲线和曲面的微分几何 里，我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形，所以自然赋予了度量结构。
黎曼度量给定后，我们可以有唯一的确定出一个对称（即无挠）联络，并且它是保持黎曼内积。这个联络称为黎曼联络。
有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。
在欧氏空间上，联络是0，所以这就是通常意义上的向量函数的微分。
黎曼度量还诱导出黎曼曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度，是内蕴性质，也就是说这个性质与流形所在的大空间无关。 曲率恒消失的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。
大数学家 高斯 最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率， 发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。 这是一个非常了不起的发现。
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