证明：连接SC和PB
∵DC=CD,AD=BC,∠ADC=∠BCD
∴ΔADC≌ΔBCD
∴∠DAC=∠CBD
同理可征得ΔABC≌ΔBAD，即得∠ADB=∠BCA
又∵AD=BC
∴ΔADO≌ΔBCO
∴OC=OD，OA=OB
又∵∠OAB=∠OCD=60°
∴ΔOAB和ΔOCD为等边三角形
∵S、P为OA和OD的中点
∴CS⊥OD，BP⊥AO，即ΔBSC和ΔCPB为直角三角形
又∵Q为BC的中点
∴PQ=SQ=BC/2
∵P、S为OA和OD的中点
∴PS=AD/2=BC/2
∴PQ=SQ=PS，即ΔPSQ为等边三角形
作OC的中点T，连接ST,QT,CS 由题意可知：三角形AOB,COD为等边三角形 因为S,T分别为OD,OC的中点，所以三角形OST也为正三角形，CS垂直于边OD，所以三角形BCS为直角三角形; 因为Q为BC的中点，所以SQ=BQ=CQ=1/2BC; 因为SP=1/2AD,AD=BC,所以SP=SQ; 因为三角形OST为正三角形，所以OS=OT; 因为TQ=1/2OB,OP=1/2OA,OA=OB,所以OP=TQ, 所以三角形OSP全等于三角形TSQ(三边相等); 所以角OSP=角TSQ 角OSP+角OSQ=角TSQ+角OSQ 角OST=角PSQ=60° 因为SP=SQ,所以三角形SPQ为等边三角形
添加辅助线BP,SC,三角形A0B为等边三角形,P为AO中点,所以BP垂直AC,直角三角形BPC中,Q为BC中点,所以PQ=1/2BC=1/2AD,同理:SQ=1/2BC;因为P,S分别为AO,DO的中点,所以PS=1/2AD,所以PQ=SQ=PS,三角形SPQ为等边三角形.
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